在长方体ABCD-A1B1C1D1中,底面是边长为二的正方形,
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(1)证明:在平面ad1b中,e为ad1的中点,f为bd1的中点
所以ed为△ad1b的中位线
所以ed‖ab
又因为ab在平面abcd上
所以ef‖平面abcd
(2)d1d比ad为√2比1
取aa1中点g连结dg,mg,dm
长方体abcd-a1b1c1d1中,abcd为正方形,所以ad=cd
cc1⊥cd,aa1⊥ad,所以∠mcd=∠gad=90°
m,g分别为cc1,aa1的中点,所以cm=ag
所以△mcd≌△gad,所以md=gd
在△mdg中,md=gd
所以△mdg为等腰三角形
f在mg上且为mg中点
所以df⊥mg
设d1d=db,则△dd1b中,为
d1b中点df⊥d1b
∵mg,d1b相交组成平面d1mbg,df⊥d1b(已证),df⊥mg(已证)
∴df⊥平面d1mb
∴当d1d=db时
df⊥平面d1mb
db为正方形abcd的一条对角线,△abd为等腰直角三角形db:ad=√2:1
∵d1d=db∴d1d比ad为√2比1
所以ed为△ad1b的中位线
所以ed‖ab
又因为ab在平面abcd上
所以ef‖平面abcd
(2)d1d比ad为√2比1
取aa1中点g连结dg,mg,dm
长方体abcd-a1b1c1d1中,abcd为正方形,所以ad=cd
cc1⊥cd,aa1⊥ad,所以∠mcd=∠gad=90°
m,g分别为cc1,aa1的中点,所以cm=ag
所以△mcd≌△gad,所以md=gd
在△mdg中,md=gd
所以△mdg为等腰三角形
f在mg上且为mg中点
所以df⊥mg
设d1d=db,则△dd1b中,为
d1b中点df⊥d1b
∵mg,d1b相交组成平面d1mbg,df⊥d1b(已证),df⊥mg(已证)
∴df⊥平面d1mb
∴当d1d=db时
df⊥平面d1mb
db为正方形abcd的一条对角线,△abd为等腰直角三角形db:ad=√2:1
∵d1d=db∴d1d比ad为√2比1
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