Question

已知函数f（x）=13x3-12（2a+1）x2+（a2+a）x（1）若函数h（...

已知函数f（x）=13x3-12（2a+1）x2+（a2+a）x （1）若函数h（x）=f′(x)x为奇函数，求a的值 （2）若∀m∈R，直线y=kx+m都不是曲线y=f（x）的切线，求k的取值范围． （3）若a＞-1，求f（x）在区间[0，1]上的最大值．

Answer 1

解：（1）∵函数f（x）=13x3-12（2a+1）x2+（a2+a）x，∴f′（x）=x2-（2a+1）x+a2+a．
∵函数h（x）=f′(x)x=2x-（2a+1）+a2+ax
为奇函数，∴f′（x）为偶函数，∴2a+1=0，a=-12．
（2）若∀m∈R，直线y=kx+m都不是曲线y=f（x）的切线，故k不在f′（x）的取值范围内．
由于f′（x）=x2-（2a+1）x+a2+a=(x-2a+12)2-14≥-14，∴k＜-14．
（3）∵a＞-1，f′（x）=x2-（2a+1）x+a2+a=（x-a-1）（x-a），∴a+1＞0，
①当a≥1时，f′（x）≥0在区间[0，1]上恒成立，故f（x）区间[0，1]上是增函数，
故f（x）的最大值为f（1）=a2-16．
②当-1＜a＜0时，在（0，a+1）上，f′（x）＜0，f（x）是减函数；
在（a+1，1）上，f′（x）＞0，f（x）是增函数．
再根据f（0）=0，f（1）=a2-16，故当-1＜a≤-66时，最大值为f（1）=a2-16；
当-66＜a＜0时，最大值为f（0）=0．
③当0＜a＜1时，在（0，a）上，f′（x）＞0，f（x）是增函数；
在（a，1）上，f′（x）＜0，f（x）是减函数，f（x）区间[0，1]上的最大值为f（a）=13a3+12a2．
④当a=0时，f′（x）＜0，f（x）是减函数，f（x）区间[0，1]上的最大值为f（0）=0．
综上可得，fmax（x）=a2-16 ， a≥1 ，或-1＜a≤-660 ， -66＜a≤013•a3+12•a2 ，0＜ a＜1．