Question

《点到直线的距离公式》推导

Answer 1

点P到直线l的距离，就是由点P向直线l作垂线,垂足为Q，线段PQ的长度就是点P到直线l的距离。

一、推导点到直线的距离公式：坐标方法、向量方法、其他方法。

1.用坐标方法推导点到直线的距离公式。

方案一:（摘自教科书）

求过P与直线l垂直的直线，且与直线l交于点Q。然后，求出两直线交点Q的坐标。最后，利用两点间距离公式求出线段PQ的长度。这是最常见的一种方法，也是基本方法。

这种方法思路自然，但运算量较大。

方案二:

教科书在思考中给出了引起复杂运算原因的基础上，简化运算过程，采用“设而不求”的策略。

“设而不求”，引导学生，“设”的是什么。“求”的是什么。

用含有所设未知数的式子表达出来，进而得到整个式子的结果，而不是式子中具体未知数的结果。

2.用向量方法推导点到直线的距离公式

《普通高中教科书数学选择性必修第一册》第一章中，用空间向量求点到直线距离和点到平面距离都应用了投影向量。这为本节课用向量方法推到平面上，点到直线距离公式提供了启示。

方案一:

此种方法模仿教材33页，应用向量方法，求点到直线距离公式。此种方法采用直线的任意方向向量。

方案二:

此种方法模仿教材33页，应用向量方法，求点到直线距离公式。此种方法采用直线单位方向向量。

方案三:（教材所采用的方法）

此种方法利用与直线l的方向垂直单位向量，一步到位，省去很多不必要的麻烦。不过求与直线l的方向垂直单位向量，是教学过程中一个难点。

3.其他推导方法

为了得到PQ，考虑与坐标轴平行的线段，把它转化为与坐标轴平行的线段关系。

这种方法充分借助面积，直角三角形面积两种不同表示方法。此种方法思路清晰，运算量依然很大，包括求交点的坐标，两条直角边的长度，斜边的长度等。

二、例题教学

解法1：

教科书第77页例6，求三角形面积，教材采用求出一边的长度，然后利用点到直线距离公式求出相应边的高，然后利用三角形面积公式求得三角形面积。

思路清晰，建议放手让学生去做。

解法2：

这道题的第二种解法，充分运用图形的几何性质，通过图形的割补，求得三角形的面积。

解法3：

利用两点间距离公式，求出三角形三边长。应用余弦定理，求出一个角的余弦值，进而获得该角正弦值。利用三角形面积公式的一般形式，求得该三角形面积。

这种方法操作比较繁琐，作为知识间的横向联系，可以适当启发学生。

三、教学反思

1.教学时强调将直线化成一般式，然后应用点到直线距离公式，求出点到直线距离。

2.当直线与坐标轴平行（重合）时，学生很少考虑利用图象，通过直观观察获得点到直线的距离。

3.当直线与坐标轴平行（重合）时，个别学生对缺少一个变量感到迷茫。

4.应用点到直线距离公式进行求解运算时，学生能够首先列出点到直线距离公式，然后分别代入进行求解。然而，在实际求解运算过程中，分子绝对值符号，悄无声息的消失了，造成丢解的情况。

5.在研究平面解析几何问题时，有意识地向学生渗透数形结合的思想。