2.线性方程组与线性空间
例. 是n级反对称矩阵,b是n维列向量，则 有解的充要条件是
例.已知 是 的实列满秩矩阵，其中 ，则存在 的实列满秩矩阵 使得 为可逆矩阵，且
提示：易得 为 的基础解系所组成解矩阵，那么还能得到 ,现主要证明 可逆，可转化为 只有零解，可分别同乘
例1.(1)设 都是n级矩阵，且 ，证明
(2)已知 是n级方阵， 为n维单位列向量，证明
例2.求二次型 的秩和正负惯性指数
证明：(1)矩阵行和为0，故秩小于等于
(2) 阶主子式对角占优，故秩大于等于
(3)该矩阵半正定：
判别法(a):利用 不等式
判别法(b):拆开后利用秩1矩阵性质进行计算行列式，得到特征值为 和
例3.设 阶矩阵 满足条件
(1)
(2)
(3)
试求 的秩
例题1：求过 的二次曲线方程
例题2：证明：如果一个球面的球心坐标 中至少有一个是无理数，则此球面上任何四个不在同一平面上的点中至少有三个点坐标是有理数。
例题：(1)证明：在 中，多项式 是一组基，其中 是 中互异的数
(2)在(1)中，取 是全体 次单位根，求由基 到基 的过渡矩阵
例题：已知 是有限维空间 的子空间，且 ，证明：要么 要么
证明：不难得到 接下来，我们可以得到 ，那么接下来的事情就是显然的了。
任何一个线性空间不能被自身的有限个非平凡的并所得到。
证明：(亦相当重要)
(1)由 非平凡，得存在 ,若 则 即所求，若不然,即 ,则存在 ,考虑 ，首先二者均不属于 ，其次至少有一个不属于 否则，作差得 ，矛盾
(2)归纳：不妨对于 个子空间的时候是对的，那么存在 若 证毕，现 ，取 ，考虑 必然均不属于 ，然后不存在两个向量同时属于空间 又有共 个向量，必然存在某个向量，设为 ,证毕
例题：已知 是线性空间 上的 个两两不同的线性变换，证明：在 中必存在向量 使得 也两两不同
证明：
例题：设 是一个数域， 是线性空间 上的线性变换，且对任意的 都有 或 ，证明：要么对于所有的 ，都有 要么对于所有的 ,都有
证明：先固定一个矩阵，让另一个矩阵取遍 可验证为子空间，并起来为全空间，由覆盖定理，必然只能其中一个为全空间，再让原来固定的矩阵跑起来，最后就得到到了答案。
考研例题：设 是 维欧式空间 中的 个向量 ，如果对任意的 都有 。证明： 中至少有一个为零向量
