Question

【例谈解排列组合题的常用方法】排列组合经典例题100

Answer 1

　　〔关键词〕 数学教学；排列组合；分步；分类；列举法； 　　 捆绑法；插空法；优先法 　　〔中图分类号〕 G633.62〔文献标识码〕 A 　　〔文章编号〕 1004―0463（2011）09（A）―0082―02
　　
　　 排列组合是历年高考中必考的一个考点，其理论基础是两个计数原理.高考对这部分内容所设置的题目大多属于中低档题，但在解决排列组合问题时，学生由于对问题中的特殊要求分析不到位而出现了分不清楚问题是分类还是分步、属于哪种类型的状况，从而导致了错解、漏解或重复计算等.因此，教师应指导学生认真阅读题目，尤其要对有特殊要求的元素或条件仔细分析，从中找到解题的突破口.下面本人结合实例对常用的解答方法进行详细的分析.
　　 一、把握问题的实质，对问题合理分类、分步
　　 若问题是与元素的性质有关，就采用分类法；若问题是按事情的发展过程进行，就采用分步法.
　　例1：（2008年全国卷Ⅰ理科第12题）如左图，一环形花坛分成4块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为（ ）.
　　A．96 B．84 C．60 D．48
　　分析：本题的特殊要求是“在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花”，因此，本题就有两种理解：可以按A－B－C－D4块地的顺序种花，采用分步计数法，分为A、C种同种花或不同种的花，B、D种同种花或不同种的花；也可以以种几种花为标准分类，分为种2种花，种3种花或种4种花.
　　解法一（分步）：第一步，种A地有C种种法；第二步，种B地有 C种种法；第三步，种C、D两地时，当C与A同色时，有C×C种种法，当C与A不同色时，有C×C种种法.所以，共有C×C×（C×C＋C×C）=84种种法.故选B.
　　 解法二（分类）：第一步，种2种花共有A种种法；第二步，种3种花，当A、C同种一种花时，有A种种法，当B、D同种一种花时，有A种种法；第三步，种4种花共有A种种法.所以，共有A＋2A＋A=84种种法. 故选B.
　　二、 位数不多的可用列举法
　　列举法即将方法一一列举出来，它虽然不如其他方法简捷，但它会让学生的思维更加严谨、清晰，对初学者学习这一部分内容有很好的帮助.
　　例2：有A、B、C、D四种不同的种子，要选出三种在三块不同的土地上试种，若A被选则必须在第一块地上试种，问不同的试种方法有多少种？
　　分析：本题的特殊要求是“若A被选则必须在第一块地上试种”，所以，元素A可能被选上，也可能没被选上.需用分类解决此问题.
　　解：如果A被选中，则有A、B、C；A、C、B；A、B、D；A、D、B；A、C、D；A、D、C 6种不同的试种方法.如果A不被选中，则有B、C、D；B、D、C；C、B、D；C、D、B；D、B、C；D、C、B 6种不同的试种方法.所以共有不同种法6+6=12种.
　　 三、相邻元素捆绑法
　　 相邻元素的排列，可以采用“从整体到局部”的排法，即将相邻的元素当成一个“大元素”与其他普通元素一起先进行排列，然后再考虑是不是要对这个“大元素”内部进行排列.
　　例3：8人排成一排，甲、乙必须分别紧靠站在丙的两旁，有多少种排法？
　　分析：本题的特殊条件是“甲、乙必须分别紧靠站在丙的两旁”，那么就把甲、乙、丙先看成一个“大元素”，与其他元素先进行全排列，然后再对这个“大元素”进行内部的排列.这也说明本题要采用分步法.
　　解：第一步，甲乙丙内部排列共有A种排法；第二步，甲乙丙整体与其他5个元素进行全排列，共有A种排法，故共有AA＝1440种排法.
　　四、不相邻元素插空法
　　解决一些不相邻问题时，可以先排那些没有特殊要求的元素，然后再插入那些不相邻的元素，使问题得以解决.
　　例4：（2006年湖南文科第6题）在数字1、2、3与符号+、-五个元素的所有全排列中，任意两个数字都不相邻的全排列的个数是（）.
　　A．6 B．12D．18 D．24
　　分析：本题的特殊要求是“任意两个数字都不相邻”，属于不相邻问题，用插空法解决.这就要求先排符号，后插数字，所以应分步解决此问题.
　　解：第一步，先排符号共有A种排法；第二步，再插数字共有A种插法.故共有AA=12种排法，故选B.
　　五、定位问题优先法
　　对于存在特殊元素或者特殊位置的排列组合问题，我们可以先解决特殊元素或特殊位置，再去解决其他元素或位置，这种解法叫做特殊元素优先法.一般根据元素的特殊性划分类别，先求出每一类的排列组合数，然后根据加法原理求出总数.
　　例5：（2008年海南、宁夏理科第9题）甲、乙、丙三位志愿者被安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加1天且每天至多安排1人，并要求甲安排在另外两位的前面，不同的安排方法共有（ ）.
　　 A．20种 B．30种 C．40种D．60种
　　 分析：本题的特殊要求是“每人参加1天且每天至多安排1人，并要求甲安排在另外两位的前面”，其中甲更特殊，所以要优先考虑甲到底安排在哪一天，并以此为标准进行分类解决此问题.
　　 解：第一类，当甲被安排在周一时，共有A种排法；第二类，当甲被安排在周二时，共有A种排法；第三类，当甲被安排在周三时，共有A种排法.故共有A＋A＋A=20种安排法 ，故选A.
　　六、至多、至少问题间接法
　　 含至多、至少问题的排列组合问题，既能用分类的方式解决，也可以用间接法，即排除法（总体去杂）解决，排除法适用于反面情况明确且易于计算的情况.
　　例6：（2009年全国卷Ⅱ理科第10题）甲、乙两人从4门课程中各选修2门.则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有（）.
　　 A．6种 B．12种 C．30种 D．36种
　　 分析：本题的特殊要求是“甲、乙所选的课程中至少有1门不相同”，可以应用间接法解决，也可以有几门不相同的课为标准进行分类解决.
　　 解法一：用间接法，共有C•C-C=30种选法.
　　 解法二： 第一类，恰有一门不相同，共有CA种选法；第二类，两门都不相同，共有C种选法.故共有CA+C=30种选法. 故选C.
　　七、以几何为背景的问题要分类讨论
　　解决以几何为背景的排列组合问题，关键要抓住点共线、点线共面、线线共面、线线相交、面面相交去分类讨论，做到不重不漏.
　　例7：（2008年重庆文科第16题）某人有3种颜色的灯泡（每种颜色的灯泡足够多），要在如右图所示的6个点A、B、C、A1、B1、C1上各安装一个灯泡，要求同一条线段两端的灯泡不同色，则不同的安装方法共有多少种？
　　分析：本题的特殊条件是“同一条线段两端的灯泡不同色”，可先安装A、B、C三个点，然后再安装A1点，最后考虑安装B1、C1两点，所以要分类解决.
　　 解：第一步，先安装A、B、C有A种方法；第二步，再安装A1有A种方法；第三步，最后考虑安装C1、B1，有1种方法.所以共有A•A=12种安装方法.
　　八、分堆问题注意有没有重复
　　当元素被平均分堆时往往会有重复，当元素不是被平均分堆时一般不会有重复.
　　例8：（2010年全国卷Ⅱ理科第6题）将标号为1、2、3、4、5、6的6张卡片放入3个不同的信封中．若每个信封放2张，其中标号为1、2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有（ ）.
　　 A.12种 B.18种C.36种D.54种
　　分析：本题的特殊要求是“每个信封放2张，其中标号为1、2的卡片放入同一信封”.从要求中可以发现，要将3、4、5、6这4张卡片先平均分成两堆.假定分给甲、乙2个信封有C×C种分法，实际上分法与甲、乙两信封无关，所以会有重复，应再除以A，然后把分好的3堆卡片分别装入不同的3个信封中.
　　解：第一步，对3、4、5、6平均分堆，共有种分法；第二步，把3组分配到3个信封中，共有A种分法.所以，共有•A=18种分法，故选B.
　　编辑：刘立英
　　
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