Question

怎样判断矩阵是否为正定矩阵？

Answer 1

正定矩阵A的特征值都是正的,可相似对角化成 diag(a1,a2,...,an)，ai>0。

即存在正交矩阵P,使 P'AP = diag(a1,a2,...,an)

取 C = diag( √a1,√a2,...,√an)

则有 C'P'APC = C'diag(a1,a2,...,an)C = E

即 (PC)'A(PC) = E

所以A与单位矩阵合同。

扩展资料：

正定矩阵

（1）广义定义：设M是n阶方阵，如果对任何非零向量z，都有zTMz> 0，其中zT 表示z的转置，就称M为正定矩阵。

例如：B为n阶矩阵，E为单位矩阵，a为正实数。在a充分大时，aE+B为正定矩阵。（B必须为对称阵）

（2）狭义定义：一个n阶的实对称矩阵M是正定的的条件是当且仅当对于所有的非零实系数向量z，都有zTMz> 0。其中zT表示z的转置。