Question

设∑为旋转抛物面z=x^2+y^2介于平面z=1与z=4之间的部分,取∫∫∑ √ze^z/√x^

Answer 1

问：设∑为旋转抛物面z=x^2+y^2介于平面z=1与z=4之间的部分,取∫∫∑ √ze^z/√x^

问：五道题答案一次性发过来老师

答：亲 你需要一个一个把问题用文字发过来哦，图片看不清的

问：设∑为旋转抛物面z=x^2+y^2介于平面z=1与z=4之间的部分,取∫∫∑ √ze^z/√x^+y^2

答：亲，你好！对于给定的表达式 ∫∫∑ √ze^z/√x^+y^2，我们需要计算积分，其中∑为旋转抛物面z=x^2+y^2，z的范围在平面z=1到z=4之间。 首先，我们需要将被积函数√ze^z/√x^+y^2转换为极坐标形式。在极坐标下，x=rcosθ，y=rsinθ，z=r^2。将这些极坐标表达式代入被积函数中，我们得到： √ze^z/√x^+y^2 = √(r^2)e^(r^2)/√(rcosθ)^2+(rsinθ)^2 = re^r^2/√(r^2(cos^2θ+sin^2θ)) = re^r^2/√r^2 = e^r^2 接下来，计算雅可比行列式J进行坐标转换。在极坐标下，J=r。现在我们可以进行积分： ∫∫∑ e^r^2 J dA = ∫∫∑ e^r^2 r dA 范围∑是z从1到4，θ从0到2π，r从0到√4=2。 ∫∫∑ e^r^2 J dA = ∫0^2 ∫0^2π ∫1^4 e^r^2 r dz dθ dr 我们首先对z进行积分，在z的范围内e^r^2是一个常数，所以我们可以将其提取出来进行积分： ∫∫∑ e^r^2 r dz = e^r^2 ∫1^4 r dz = e^r^2 [rz]1^4 = 3re^r^2 现在我们继续对r和θ进行积分： ∫0^2 ∫0^2π 3re^r^2 dθ dr = 3 ∫0^2 2πre^r^2 dθ dr = 6π ∫0^2 re^r^2 dr 对于∫0^2 re^r^2 dr，我们可以通过符号替换u=r^2来求解，从而得到du=2r dr： 6π ∫0^2 re^r^2 dr = 6π ∫0^4 e^u du = 6π [e^u]0^4 = 6π (e^4 - 1) 因此，积分结果为： ∫∫∑ √ze^z/√x^+y^2 dA = 6π (e^4 - 1)

问：计算∫∮∑ 2(1-x^2)dydz+8xydzdx+3x(x-z)dxdy,其中∑是平面x+y+z=1与三个坐标平面所围成立体的整个表面的外侧

答：亲，你好！ 要计算给定表面的积分 ∫∮∑ 2(1-x^2)dydz+8xydzdx+3x(x-z)dxdy，其中 ∑ 是平面 x+y+z=1 与三个坐标平面所围成立体的整个表面的外侧。 可以按照表面元素的方向和参数化来分别计算三个表面的积分，并将结果相加。 首先，让我们考虑平面 y=0 的部分。在这个平面上，如题所述，我们可以将 x 和 z 作为参数进行参数化。取 x 作为主参数，则 z=1-x 为辅助参数。通过计算曲面元素的向量差积，我们可以确定正方向为指向外侧，即负梯度方向（-%絝）。

答：对于平面 $y = 0$，法向量为 $(0, -1, 0)$。 由于我们使用了参数化，我们需要计算坐标变换的雅可比行列式。 $\frac{\partial(x, z)}{\partial(x, z)} = 1$ 现在我们可以计算第一个积分： $\int\int\sum 2(1 - x^{2})dydz + 8xydzdx + 3x(x - z)dxdy$ 对于平面 $y = 0$，$dy = 0$，只有 $dz$ 和 $dx$ 需要积分。 $\int\int\sum 2(1 - x^{2})dydz + 8xydzdx + 3x(x - z)dxdy$ $= \int_{- 1}^{1} \int_{0}^{1} 2(1 - x^{2})dzdx + \int_{- 1}^{1} \int_{0}^{1} 8xz dzdx + \int_{- 1}^{1} \int_{0}^{1} 3x(x - (1 - x))dxdz$

答：接下来，我们来计算第二个平面 x=0 的部分。 在这个平面上，我们可以将 y 和 z 作为参数进行参数化。取 y 作为主参数，则 z=1-y 为辅助参数。法向量为 (-1,0,0)。 坐标变换的雅可比行列式为 ("y, "z)/"(y,z) = 1。 我们进行相应的积分计算： ∫∮∑ 2(1-x^2)dydz+8xydzdx+3x(x-z)dxdy = ∫∮∑ 2(1-x^2)dydz+ 8xydzdx+ 3x(x-z)dxdy+ ∫∮∑ 2(1-y^2)dydz+ 8yzdzdx+ 3y(y-z)dydz

答：对于平面 x=0，dx=0，只有 dy 和 dz 需要积分。 然后，我们来计算第三个平面 z=0 的部分。在这个平面上，我们可以将 x 和 y 作为参数进行参数化。法向量为 (0,0,1)。坐标变换的雅可比行列式为 ("x, "y)/"(x,y) = 1。 我们进行相应的积分计算： ∫∮∑ 2(1-x^2)dydz+8xydzdx+3x(x-z)dxdy = ∫∮∑ 2(1-x^2)dydz+ 8xydzdx+ 3x(x-z)dxdy+ ∫∮∑ 2(1-y^2)dydz+ 8yzdzdx+ 3y(y-z)dydz+ ∫∮∑ 2(1-x^2)dydz+ 8xz dzdx+ 3x^2dxdy 对于平面 z=0，dz=0，只有 dy 和 dx 需要积分。 最后，将计算得到的三个积分结果相加，即可得到整个表面的积分结果。