Question

已知点M(p,q)在抛物线y=x^2-1上，若以M为圆心的圆与x轴有两个交点A,B，且A,B两点的横坐标是关于x的方程

已知点M(p,q)在抛物线y=x^2-1上，若以M为圆心的圆与x轴有两个交点A,B，且A,B两点的横坐标是关于x的方程x^2-2px+q=0的两根
（1）当M在抛物线上运动时，圆M在x轴上截得的弦长是否变化，为什么？
（2）若M与x轴的两个交点和抛物线的顶点c构成一个等腰三角形，试求p,q的值。

Answer 1

（1）点M(p,q)在抛物线y=x²-1上--->q=p²-1
xA,xB是关于x的方程x²-2px+q=0的两根--->xA+xB=2p,xAxB=q
|AB|²=(xA-xB)²=(xA+xB)²-4xAxB=(2p)²-4q=4p²-4(p²-1)=4
--->|AB|=2，弦长AB不变

（2）△ABC是等腰三角形, 顶点C(0,-1)
--->设：xA=p-1,xB=p+1
1) |AC|=|BC|--->C点在AB的中垂线上--->M=C--->p=0,q=-1
2) |AC|=|AB|=2--->(xA)²+1=4--->xA=±√3--->p=±√3+1,q=4±2√3
3) |BC|=|AB|=2--->(xB)²+1=4--->xB=±√3--->p=±√3-1,q=4±2√3
综上，共有5组解

Answer 2

(1) A(x1,0),B(x2,0) AB=|x1-x2|=sqrt((x1+x2)^2-4x1x2)
x1+x2=2p,x1x2=q,q=p^2-1,p^2-q=1 AB=sqrt(4p^2-4q)=sqrt4=2
所以弦长为定值2，不变

(2） 由于抛物线关于y轴对称，所以构成的三角形只能是AB=AC，C(0,-1)
AB=2,所以AC=2,x1^2+1=4,x1=+/-sqrt3
当x1=sqrt3,x2=2+sqrt3,p=(x1+x2)/2=1+sqrt3,q=3+2sqrt3
由对称性，当 x1=-sqrt3,p＝-1-sqrt3,q不变

（sqrt表示根号）

Answer 3

解：设AB两点横坐标为x1和x2,不妨设x1<x2
由于点M(p,q)在抛物线上，所以q=p²-1,代入方程x^2-2px+q=0得：
x^2-2px+p²-1=0，解得x1=p-1,x2=p+1
圆M在x轴上截得的弦长|AB|=|x1-x2|=2
故（1）当M在抛物线上运动时，圆M在x轴上截得的弦长不变
（2）点C坐标(0,-1)，点A坐标(p-1,0),点B坐标(p+1,0)
当|AB|=|AC|时，|AC|=√[(p-1)²+1]=2,解得p=1±√3,q=3±2√3
当|AB|=|BC|时，|BC|=√[(p+1)²+1]=2,解得p=-1±√3,q=3-/+2√3
当|AC|=|BC|时，点M和点C重合，p=0,q=-1

Answer 4

过来，垂死你

Answer 5

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