Question

复数模的三角形不等式？

希望证明
等号成立条件是幅角主值相等？

Answer 1

类比一下向量里的三角不等式，事实上一个复数就可以对应一个向量：
||z1|-|z2||<=|z1+z2|<=|z1|+|z2|
||z1|-|z2||<=|z1-z2|<=|z1|+|z2|
证明其实很简单，我们设：z1=a1+b1i,z2=a2+b2i，由于复数的加法法则相当于取两个向量：a=(a1,b1),b=(a2,b2)相加所得的向量a+b=(a1+a2,b1+b2)，这个向量的坐标和复数z1+z2=(a1+a2)+(b1+b2)i的实部虚部是一一对应的。所以只要画画图很容易看出来，其实就是三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，且当两个向量共线的时候取得等号。（对于复数也一样）.
另外复数里还有一个很重要的三角不等式：
Re(z)+Im(z)>=|z|
也就是一个复数的实部和虚部之和是大于等于复数的模的，为什么？其实就是三角形两边之和大于第三边，只不过现在是直角三角形。且当该复数是实数或 纯虚数的时候取得等号。

Answer 2

设z1,z2,z3为任意复数
则|z3-z1|<=|z3-z2|+|z2-z1|,
即三角形两边之和大于第三边

Answer 3

对任意两个复数Z_1、Z_2有:|Z_1|-|Z_2|≤|Z_1+Z_2|≤|Z_1|+|Z_2| (1)左边的等号当且仅当Z_1与Z_2反向时取得,右边的等号当且仅当Z_1与Z_2同向时取得

Answer 4

对任意两个复数Z1、Z2有:||Z1|-|Z2||≤|Z1±Z2|≤|Z1|+|Z2|