Question

定义在（-1，1）上的函数f（x）满足：对任意x,y∈(-1,1),都有f(x)+f(y)=f(x+y／1+xy).

1. 求证：函数是奇函数。
2. 若当x∈(-1,0)时，有f(x)＞0,求证：f(x)在（-1，1）上是减函数

Answer 1

【解】
1、 首先，取x=y=0；则有：
f(0)+f(0)=f(0) 所以：f(0)=0;
取y=-x得到：
f(x)+f(-x)=f(0)=0;
所以：f(-x)=-f(x);
所以：为奇函数；
2、取x>y;由于f(x)为奇函数，所以：f(-y)=-f(y);
所以：
f(x)-f(y)=f(x)+f(-y)
=f( (x-y)/(1-xy) )
=-f((y-x)/(1-xy) )
由于1>x>y>-1,所以：
(y-x)/(1-xy)<0;
所以：f((y-x)/(1-xy) )>0;
所以：
f(x)-f(y)=-f((y-x)/(1-xy) )<0;
f(x)<f(y);
所以：f(x)在（-1,1)上为减函数。