Question

已知：定义在R上的函数f(x)=2^x+a/2^x,a为常数

已知：定义在R上的函数f(x)=2^x+a/2^x,a为常数
如果f(x)满足f(-x)=f(x)时，用单调性定义讨论f(x)的单调性
请帮忙，谢谢！

Answer 1

f(-x)=2^-x+a/2^-x=1/2^x+a*2^x=f(x)=2^x+a/2^x
所以a=1
f(x)=2^x+1/2^x=(2^2x+1)/2^x

若a>b>0
f(a)-f(b)=(2^2a+1)/2^a-(2^2b+1)/2^b
=(2^2a*2^b+2^b-2^2b*2^a-2^a)/2^a*2^b
分母显然大于0
分子=2^2a*2^b+2^b-2^2b*2^a-2^a
=2^a*2^b(2^a-2^b)-(2^a-2^b)
=(2^a-2^b)(2^a*2^b-1)
a>b,所以2^a>2^b
a>0,b>0
所以2^a>1,2^b>1
2^a*2^b>1
所以分子大于0
所以a>b>0,f(a)>f(b)
所以x>0,f(x)是增函数

若0>a>b
则f(a)-f(b)=(2^a-2^b)(2^a*2^b-1)/2^a*2^b
此时a<0,b<0,0<2^a<1,0<2^b<1
所以2^a*2^b<1,其他仍大于0
所以f(a)<f(b),是减函数

所以x>0,增，x<0,减

Answer 2

令m＞n
则f(m)-f(n)=(2^m-2^n)+(a/2^m-a/2^n)
=(2^m-2^n)+a(2^n-2^m)/2^(m+n)
=(2^m-2^n)[1+a/2^(m+n)]
m＞n,则2^m-2^n＞0;
∴(2^m-2^n)[1+a/2^(m+n)]＞0
∴f(m)＞f(n)
单调递增