Question

一道初中的几何证明题，高手来帮忙

在△ABC中，∠B的平分线BE交AC于E，∠C的角平分线CD交AB与D，BE,CD相交于O点，且CD=BE,求证△ABC是等腰三角形。。。这个题目把我难住了，我是大二的。不知道是我真的变笨了还是忘记定理了，我只想明白这个到底是怎么证明的
请注意是任意三角形，而且希望大家做完能自己去验证一下，4楼的朋友明显是错的

Answer 1

用代数的方法解决了这问题...几何方法实在没想出来

对角平分线有一个性质,就是它分对边的比等于与这两段相邻的三角形边的边长之比.这可以用正弦定理证,此处从略.
现在我们来求a边上的角分线长度m:
设a被该线分为p,q两段,p,q分别与b,c相连
由上面提到的性质,可知p=ab/(b+c),q=ac/(b+c)
对由m及a构成的一对互补的角,应用余弦定理,有:
(pp+mm-bb)/2pm+(qq+mm-cc)/2qm=0,通分化简可得
(p+q)mm=pcc+qbb-pq(p+q).将p,q带入,并注意p+q=a
化简可得m^2=bc[(b+c)^2-a^2]/(b+c)^2

现在我们让a边b边上的角分线等长,依上面给出的角分线长公式,知
bc*[1-a^2/(b+c)^2]=ac*[1-c^2/(a+c)^2]
移项通分得
(a-b)(a+c)^2*(b+c)^2+aab(a+c)^2-abb(b+c)^2=0 ---(*)
对后面一部分提出ab,将平方展开,得
aab(a+c)^2-abb(b+c)^2
=ab[aaa-bbb+2aac-2bbc+acc-bcc]
=ab(a-b)[aa+ab+bb+2c(a+b)+cc]
代入*式可提出a-b
得(a-b){(a+c)^2*(b+c)^2+ab[aa+ab+bb+2c(a+b)+cc]}=0
后面那一堆里面都是正数,都是正号,所以不可能为0
只有a-b=0,即a=b
同理b=c,故这是等边三角形(题目给的是任意***)

其实从证明过程中可以看到,只要两条角分线等长,就可以断定这是等腰三角形了

Answer 2

只要证明三角形OBC是等腰三角形就可以推出三角形是等腰三角形，证明OBC是等腰，只要证明△DOB全等于△ECB

Answer 3

在△ABC中，假设∠B≥∠C，则可在CD上取一点F'，使∠F'BE=∠ECF'，这有CD≥CF'。
延长BF'交AC于A',则由∠BA'E=∠CA'F',有ΔA'BE∽ΔA'CF'.
从而A'B/A'C=BE/CF'≥BE/CD=1.
那么在△A'BC中，由A'B≥A'C，得:
∠A'CB≥∠A'BC，即∠C≥(∠B+∠C)/2，故∠B≤∠C。
再由假设∠B≥∠C，即有∠B=∠C。
所以△ABC为等腰三角形。

Answer 4

我觉得 这题得过E点做CD的平行线EF ,交BC延长线于F
这就构筑个等腰三角形，得∠EFB=∠ABC
再用平行线性质证明∠EFB=∠ACB
所以∠ACB=∠ABC
即ABC为等腰三角形
做了辅助线非常简单……