Question

二重积分的例题看不懂

注：当区域D的边界曲线用形如x=x(t)，y=y(t)的参数方程给出时，只要曲线上点的纵坐标y是横坐标x的单值函数y=y(x)，可以先将其化为关于x,y的二次积分，变成定积分后再将参数方程代入计算。

我就是不知道上面的注释的理论依据是什么？

Answer 1

D本来是用他的边界曲线的参数表示的，对于这种题，有两种解法，一是如答案中所示，将D在(x,y)平面的区域用集合表示出来，再进行正常的二重积分，理论依据就是重积分法则，逐步去掉积分号。二是用格林公式，首先要保证积分区域是单连通的，又因为边界曲线是分段可微的简单闭曲线，所以可以将所要求的二重积分转化为它边界上的第二类曲线积分:
令P=0，Q=(x^2)*y/2即可。分别在三条边上有向积分再求和，也能得到同样的结果。不过就这道题而言，第一种方法比较简单，第二种方法不常考，不过很有用。