高中数学设f(x)是定义在R上的奇函数,且f(2)=0,当x>0时。
设f(x)是定义在R上的奇函数,且f(2)=0,当x>0时。有[xf′(x)-f(x)]/x²<0恒成立,则不等式x²f(x)>0的解集是x<-2∪0...
设f(x)是定义在R上的奇函数,且f(2)=0,当x>0时。 有[xf′(x)-f(x)]/x²<0恒成立,则不等式x²f(x)>0的解集是
x<-2∪0<x<2
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构建函数g(x)=f(x)/x 则 g`(x)=(xf`(x)-f(x))/x²
由题g`(x)<0 在x>0恒成立
所以g(x)在x>0为减函数 所以f(x)在x>0为减函数
又f(x)为奇函数 所以f(x)在x<0为 增函数
又f(2)=f(-2)=0所以 f(x)>0的 解集为 x<-2∪0<x<2
所以 x²f(x)>0的 解集为 x<-2∪0<x<2
由题g`(x)<0 在x>0恒成立
所以g(x)在x>0为减函数 所以f(x)在x>0为减函数
又f(x)为奇函数 所以f(x)在x<0为 增函数
又f(2)=f(-2)=0所以 f(x)>0的 解集为 x<-2∪0<x<2
所以 x²f(x)>0的 解集为 x<-2∪0<x<2
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