Question

设f（x）=lnx+x,方程2mf(x)=x^2有唯一实数解，求正数m的取值

Answer 1

答：
f(x)=lnx+x，2mf(x)=x^2
2m(lnx+x)=x^2
2mlnx+2mx=x^2
设g(x)=2mlnx+2mx-x^2，x>0，m>0
求导：
g'(x)=2m/x+2m-2x
解g'(x)=0得：x-m/x=m
解得：x1=[m+√(m^2+4m)]/2（另外一个x2不符合x>0舍去）
x1-m/x1=m………………………………（1）
0<x<x1时，g'(x)>0，g(x)是增函数
x>x1时，g'(x)<0，g(x)是减函数
x=x1时g(x)取得最大值
x趋于0+时，g(x)趋于负无穷
x趋于+∞时，g(x)趋于负无穷
所以：x=x1是g(x)的唯一零点
所以：g(x1)=2mln(x1)+2m(x1)-(x1)^2=0………………（2）
由（1）和（2）解得m=1/2