Question

一道概率论的问题

题目如下图4.7所示

下图是解答，我的问题是，第二小题，P{a≤x<b，c≤y≤d}等于P{x<b，y≤d}-P{x<b，y<c}-P{x<a，y≤d}+P{x<a，y<c}，这个式子中，y<a和y<c，为什么不取等号？谢谢！

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Answer 1

多减去的部分是(X<a,Y<c),你若加P(X<=a,Y<=c),就多了一个P(X=a U X=c)

你多加了黑色的部分，好好想想就懂了

追问

那像这种题做的时候要怎么去判断该不该取等号？

追答

首先总的是(X<b,Y<=d)

你先减去(X<b,Y<c)
再减去(Y<=d,X<a)
X<a,Y<c的部分被减两次
所以要加回来一个(X<a,Y<c)，不能加(X<=a,Y<=c)否则多了(X=a U Y=c)

要考虑离散分布，注意等号的时候，画粗线来看就看出来了

Answer 2

你好，对于概率来讲，P(x<a)和P(x<=a)的概率是一样的。
在连续分布中，在某一个点的取值概率p(x=a)=0

连续分布中，对于某一个点来求概率，是没有任何意义的。
概率是在一个区间上的。

追问

可是这道题要用来判断是否该取极限，必须得依据是否取等号来做，应该不能忽略小于和小于等于的差别吧？

追答

你说的是那个F(a-0,c-0)的吧，这个其实不必这么写的，一般这种F(x)函数都是连续的。
所以F(a+0)和F(a-0)和F(a)是一样的。。。

而且函数的左右极限，跟他这一点的函数值F(a)是无关的。
是与F(x)在x=a左右两侧的函数表达式有关。

其实这个题目，可以把所有等号都去掉，没有任何影响的