设函数f(x)=13mx3+(4+m)x2,g(x)=aln(x?1),其中a≠0.(Ⅰ)若函数y=g(x)图象恒过定点P,且点P关于
设函数f(x)=13mx3+(4+m)x2,g(x)=aln(x?1),其中a≠0.(Ⅰ)若函数y=g(x)图象恒过定点P,且点P关于直线x=32的对称点在y=f(x)的...
设函数f(x)=13mx3+(4+m)x2,g(x)=aln(x?1),其中a≠0.(Ⅰ)若函数y=g(x)图象恒过定点P,且点P关于直线x=32的对称点在y=f(x)的图象上,求m的值;(Ⅱ)当a=8时,设F(x)=f′(x)+g(x+1),讨论F(x)的单调性;(Ⅲ)在(Ⅰ)的条件下,设G(x)=f(x),x≤2g(x),x>2,曲线y=G(x)上是否存在两点P、Q,使△OPQ(O为原点)是以O为直角顶点的直角三角形,且斜边的中点在y轴上?如果存在,求a的取值范围;如果不存在,说明理由.
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(I)令ln(x-1)=0,得x=2,∴点P关于直线x=
的对称点(1,0),
∴f(1)=0,
m+4+m=0,m=-3.
(II)F(x)=f′(x)+g(x+1)=mx2+2(4+m)x+8lnx,(x>0).
∴F′(x)=2mx+(8+2m)x+
=
=
,
∵x>0,∴x+1>0,
∴当m≥0时,8+2mx>0,F′(x)>0,此时,F(x)在(0,+∞)上是增函数,
当m<0时,由F′(x)>0得0<x<-
,由F′(x)<0得x>-
,
此时,F(x)在(0,-
)上是增函数,在(-
,+∞)上是减函数,
综上所述,m≥0时,8+2mx>0,F′(x)>0,此时,F(x)在(0,+∞)上是增函数,当m<0时,由F′(x)>0得0<x<-
,由F′(x)<0得x>-
,此时,F(x)在(0,-
)上是增函数,在(-
,+∞)上是减函数,
(III)由条件(I)知,G(x)=
,
假设曲线y=G(x)上存在两点P、Q,满足题意,则P、Q只能在y轴的同侧,
设P(t,G(t))(t>0),则Q(-t,t3+t2),
∵△OPQ(O为原点)是以O为直角顶点的直角三角形,
∴
?
3 |
2 |
∴f(1)=0,
1 |
3 |
(II)F(x)=f′(x)+g(x+1)=mx2+2(4+m)x+8lnx,(x>0).
∴F′(x)=2mx+(8+2m)x+
8 |
x |
2mx2+(8+2m)+8 |
x |
(2mx+8)(x+1) |
x |
∵x>0,∴x+1>0,
∴当m≥0时,8+2mx>0,F′(x)>0,此时,F(x)在(0,+∞)上是增函数,
当m<0时,由F′(x)>0得0<x<-
4 |
m |
4 |
m |
此时,F(x)在(0,-
4 |
m |
4 |
m |
综上所述,m≥0时,8+2mx>0,F′(x)>0,此时,F(x)在(0,+∞)上是增函数,当m<0时,由F′(x)>0得0<x<-
4 |
m |
4 |
m |
4 |
m |
4 |
m |
(III)由条件(I)知,G(x)=
|
假设曲线y=G(x)上存在两点P、Q,满足题意,则P、Q只能在y轴的同侧,
设P(t,G(t))(t>0),则Q(-t,t3+t2),
∵△OPQ(O为原点)是以O为直角顶点的直角三角形,
∴
OP |
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