设单位质点在水平面内作直线运动,初速度v|t=0=v0.已知阻力与速度成正比(比例常数为1),问t为多少时此

设单位质点在水平面内作直线运动,初速度v|t=0=v0.已知阻力与速度成正比(比例常数为1),问t为多少时此质点的速度为v03?并求到此时刻质点所经过的路程.... 设单位质点在水平面内作直线运动,初速度v|t=0=v0.已知阻力与速度成正比(比例常数为1),问t为多少时此质点的速度为v03?并求到此时刻质点所经过的路程. 展开
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知道答主
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设该单位质点的运动速度为v(t).
根据质点受力及牛顿第二定律可得:
-v=f=ma=m
dv
dt
=
dv
dt

又有初值条件:
v|t=0=v0
s|t=0=0

因此,可解微分方程-v=f=ma=m
dv
dt
=
dv
dt

-dt=
dv
v

-t=ln|v|+c=lnv+c,c为常数
代入初始条件v|t=0=v0
可得c=-lnv0
所以,-t=ln
v
v0
,即v=v0e-t
因此,此质点的速度为v=
v0
3
时,有
t=-ln
v
v0
=-ln
1
3
v0
v0
=-ln
1
3
=ln3
因此,t为ln3时此质点的速度为
v0
3

到此时刻质点所经过的路程
s=
∫ 
t
0
vdt=
∫ 
ln3
0
v0e-tdt
=-v0e-t
|
ln3
0
=v0-v0e-ln3=v0-
1
3
v0=
2
3
v0
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