Question

已知函数f（x）=3sin（ωx+φ）（ω＞0，-π2＜φ＜0）的最小正周期为π，且其图象经过点（2π3，0）．（

已知函数f（x）=3sin（ωx+φ）（ω＞0，-π2＜φ＜0）的最小正周期为π，且其图象经过点（2π3，0）．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若函数g（x）=f（x2+5π12），α，β∈（0，π），且g（α）=1，g（β）=324，求g（α-β）的值．

Answer 1

（1）因为函数f（x）的最小正周期为π，且ω＞0，所以

2π

ω

=π，解得ω=2．
所以f（x）=3sin（2x+φ）．
因为函数f（x）的图象经过点(

π

3

，0)，所以3sin(2×

2π

3

+φ)=0，
得

4π

3

+φ=kπ，k∈Z，即φ=kπ-

4π

3

，k∈Z．
由?

π

2

＜φ＜0，得φ=?

π

3

．
所以函数f（x）的解析式为f（x）=3sin(2x?

π

3

)．
（2）依题意有g（x）=3sin[2×(

x

2

+

5π

12

)?

π

3

]=3sin(x+

π

2

)=3cosx．
由g（α）=3cosα=1，得cosα=

1

3

，
由g（β）=3cosβ=

3 2

4

，得cosβ=

2

4

．
因为α，β∈（0，π），所以sinα=

2 2

3

，sinβ=

14

4

．
所以g（α-β）=3cos（α-β）=3（cosαcosβ+sinαsinβ）
=3×(

1

3

×

2

4

+

2 2

3

×

14

4

)=

2 +4 7

4

．