Question

如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径的半圆O，与斜边AC交于D，E是BC边上的中点，连接DE．（1）DE与半圆O相切

如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径的半圆O，与斜边AC交于D，E是BC边上的中点，连接DE．（1）DE与半圆O相切吗？若相切，请给出证明；若不相切，说明理由；（2）如果AD，AB的长是方程x 2 -10x+24=0的两个根，试求直角边BC的长；（3）试在（1）（2）的基础上，提出一个有价值的问题（不必解答）．

Answer 1

（1）DE与半圆O相切． 证明：连接OD，BD， ∵AB是半圆O的直径， ∴∠BDA=∠BDC=90°． ∵在Rt△BDC中，E是BC边上的中点， ∴DE=BE= 1 2 BC，得∠EBD=∠BDE． ∵OB=OD， ∴∠OBD=∠ODB． 又∵∠ABC=∠OBD+∠EBD=90°， ∴∠ODB+∠EDB=90°，故DE与半圆O相切． （2）∵BD⊥AC， ∴Rt△ABD ∽ Rt△ACB． ∴ AB AC = AD AB ． 即AB 2 =AD?AC． ∴AC= A B 2 AD ． ∵AD，AB的长是方程x 2 -10x+24=0的两个根， ∴解方程得x 1 =4，x 2 =6． ∵AD＜AB， ∴AD=4，AB=6． ∴AC= A B 2 AD = 6 2 4 =9． 又∵在Rt△ABC中，AB=6，AC=9， ∴BC= A C 2 -A B 2 = 81-36 =3 5 ． （3）问题1：求四边形ABED的面积； 问题2：求两个弓形的面积； 问题3：求 AD ： BD 的值．