Question

已知在（x+3x）n（其中n＜15）的展开式中：（1）求二项式展开式中各项系数之和；（2）若展开式中第9项，

已知在（x+3x）n（其中n＜15）的展开式中：（1）求二项式展开式中各项系数之和；（2）若展开式中第9项，第10项，第11项的二项式系数成等差数列，求n的值；（3）在（2）的条件下写出它展开式中的有理项．

Answer 1

（1）∵二项展开式中各项的系数就是各项的二项式系数

C

0 n

，

C

1 n

，

C

2 n

，…，

C

n n

，
∴各项系数之和为

C

0 n

+

C

1 n

+

C

2 n

+…+

C

n n

＝2n
（2）(

x

+

3	x

)n（其中n＜15）的展开式中第9项，第10项，第11项的二项式系数分别是

C

8 n

，

C

9 n

，

C

10 n

．
依题意得

C

8 n

+

C

10 n

＝2

C

9 n

，
写成：

n!

8!(n?8)!

+

n!

10!(n?10)!

＝2?

n!

9!(n?9)!

，
化简得90+（n-9）（n-8）=2?10（n-8），
即：n²-37n+322=0，解得n=14或n=23，
∵n＜15，∴n=14．
（2）展开式的通项Tr+1＝

C

r 14

x

14?r

2

x

r

3

＝

C

r 14

x

42?r

6

∴展开式中的有理项当且仅当r是6的倍数，又0≤r≤14，
∴展开式中的有理项共3项是：r＝0，T

Answer 2

答案是5
过程中那些字母很难表示的
求出来n=10
r=2即第三项是不含x的项