Question

（2012?孝感模拟）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H，M分别是棱AD，DD1，D1A1，A1A，AB的中点

（2012?孝感模拟）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H，M分别是棱AD，DD1，D1A1，A1A，AB的中点，点N在四边形EFGH的四边及其内部运动，则当N只需满足条件______时，就有MN⊥A1C1；当N只需满足条件______时，就有MN∥平面B1D1C．

Answer 1

（1）连接EG、EM、GM、BD
∵正方形AA₁D₁D中，E、G分别为AD、A₁D₁的中点
∴EG∥AA₁
∵AA₁⊥平面A₁B₁C₁D₁
∴EG⊥平面A₁B₁C₁D₁
∵A₁C₁?平面A₁B₁C₁D₁
∴A₁C₁⊥EG
∵在△ABD中，EM是中位线
∴EM∥BD
∵BB₁∥DD₁且BB₁=DD₁
∴四边形BB₁D₁D是平行四边形，B₁D₁∥BD
∴EM∥B₁D₁
∵正方形A₁B₁C₁D₁中，A₁C₁⊥B₁D₁
∴A₁C₁⊥EM
∵EM∩EG=E，EM、EG?平面EGM
∴A₁C₁⊥平面EGM
因此，当点N在EG上时，直线MN?平面EGM，有MN⊥A₁C₁成立；
（2）连接MH、A₁B
根据（1）的证明，EM∥B₁D₁
∵EM?平面B₁D₁C，B₁D₁?平面B₁D₁C，
∴EM∥平面B₁D₁C
同理可得MH∥平面B₁D₁C
∵EM∩MH=M，EM、MH?平面EHM
∴平面EHM∥平面B₁D₁C
∴当点N在EH上时，MN?平面EHM，有MN∥平面B₁D₁C成立．
故答案为：点N在EG上，点N在EH上