Question

已知：如图，直线PA交⊙O于A、E两点，PA的垂线DC切⊙O于点C，过A点作⊙O的直径AB．（1）求证：AC平分∠DA

已知：如图，直线PA交⊙O于A、E两点，PA的垂线DC切⊙O于点C，过A点作⊙O的直径AB．（1）求证：AC平分∠DAB；（2）若DC=4，DA=2，求⊙O的直径．

Answer 1

（1）证明：方法一：连接BC， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB=90°， 又∵DC切⊙O于C点， ∴∠DCA=∠B， ∵DC⊥PE， ∴Rt△ADC ∽ Rt△ACB， ∴∠DAC=∠CAB，即AC平分∠DAB； 方法二：连接CO， 因为DC与⊙O相切， 所以DC⊥CO， 又因为PA⊥CD， 所以CO ∥ PE， 所以∠ACO=∠CAO=∠CAD，即AC平分∠DAB （2）在Rt△ADC中，AD=2，DC=4， ∴AC= A D 2 +D C 2 =2 5 ， 由（1）得Rt△ADC ∽ Rt△ACB， ∴ AB AC = AC AD ， 即AB= A C 2 AD = 20 2 =10， ∴⊙O的直径为10．