在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=2，E为BB1中点．（Ⅰ）证明：AC⊥D1E；（Ⅱ）求DE与平面AD1E所成
在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=2，E为BB1中点．（Ⅰ）证明：AC⊥D1E；（Ⅱ）求DE与平面AD1E所成角的正弦值．...
在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=2，E为BB1中点．（Ⅰ）证明：AC⊥D1E；（Ⅱ）求DE与平面AD1E所成角的正弦值．
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（Ⅰ）证明：连接BD∵ABCD-A1B1C1D1是长方体，
∴D1D⊥平面ABCD，
又AC?平面ABCD
∴D1D⊥AC…（1分）
在长方形ABCD中，AB=BC
∴BD⊥AC…（2分）
又BD∩D1D=D
∴AC⊥平面BB1D1D，…（3分）
而D1E?平面BB1D1D
∴AC⊥D1E…（4分）
（Ⅱ）解：如图建立空间直角坐标系D-xyz，则A（1，0，0），D1（0，0，2），E（1，1，1），B（1，1，0），
| AE |
| AD1 |
| DE |
设平面AD1E的法向量为
| n |
|
令z=1，则
| n |
∴cos＜
| n |
