Question

关于二重积分对称性时，谁能给我简单说一下？被积函数是xy，且已知D关于y轴对称，为什么它的积分是0

Answer 1

根据定积分的性质：如果积分区域关于x=0对称，且被积函数关于x为奇函数，那么积分等于0。对y同理。所以，f(x)=y*x是关于x的奇函数，积分区域D关于y轴即x=0对称，所以积分等于0。 

二重积分是二元函数在空间上的积分，同定积分类似，是某种特定形式的和的极限。本质是求曲顶柱体体积。重积分有着广泛的应用，可以用来计算曲面的面积，平面薄片重心等。平面区域的二重积分可以推广为在高维空间中的（有向）曲面上进行积分。

扩展资料：

积分的轮换对称性：

对于曲面积分，积分曲面为u(x,y,z)=0，如果将函数u(x,y,z)=0中的x,y,z换成y,z,x后，u(y,z,x)仍等于0，即u(y,z,x)=0， 那么在这个曲面上的积分 ∫∫f(x,y,z)dS=∫∫f(y,z,x)dS；

将函数u(x,y,z)=0中的x,y,z换成y,x,z后，u(y,x,z)=0，在这个曲面上的积分∫∫f(x,y,z)dS=∫∫f(y,x,z)dS；

如果将函数u(x,y,z)=0中的x,y,z换成z,x,y后，u(z,x,y)=0，那么在这个曲面上的积分 ∫∫f(x,y,z)dS=∫∫f(z,x,y)dS ，同样可以进行多种其它的变换。

Answer 2

注意定积分的性质：如果积分区域关于x=0对称，且被积函数关于x为奇函数，那么积分等于0。对y同理。
回到你的题目：f(x)=y*x是关于x的奇函数，积分区域D关于y轴即x=0对称，所以积分等于0。
至于这个性质的证明，分区间使用换元法即可。