Question

高数求极限，夹逼定理与积分方法选择中，分子分母次数齐与不齐的判断

老师上课时说，求积分的两种方法，夹逼定理与积分的选择口诀是：不齐夹逼齐定积。然而齐与不齐要怎么判定呢？上课时候老师举了两个例子，第一个例子中，分子分别是1,2，……，n，分母分别是n²+1，n²+2，……，n²+n，老师说这里是分子齐，分母不齐，用夹逼定理。
那么齐与不齐到底怎么看呢？题中，如果将所有数字与n平等地看，那么分子的次数都是1，分母的次数都是2与1，应该是双齐，但老师又说这里分子齐，而分母是不齐的。如果只看字母n的次数，那么分子是前面的项都是0次，最后一项是1次。分母前面的项分别是2次与0次，最后一项是2次与1次。那么就是分子分母都不齐了，跟老师的说法还是不一致。那么到底应该怎么看呢？

Answer 1

分子（1,2，……，n）： 1,2,....n 都是一次，所以分子齐。

分母（n²+1，n²+2，……，n²+n）：n²是两次，后面的1，2...n是一次，所以分母不齐。

如果是在两个无穷小间的比较,即分子分母都是在同一个自变量的变化过程中的无穷小且分母不不等于0：

如果分子次数高于分母,其比值极限为0：分子式比分母高阶的无穷小。

如果分子比分母极限为无穷大：分子式比分母低阶的无穷小。

若比值极限为常数：分子分母同阶无穷小。

若比值极限为1：分子为分母的等价无穷小。

N的相应性　

一般来说，N随ε的变小而变大，因此常把N写作N(ε)，以强调N对ε的变化而变化的依赖性。但这并不意味着N是由ε唯一确定的：（比如若n>N使|xn-a|<ε成立，那么显然n>N+1、n>2N等也使|xn-a|<ε成立）。重要的是N的存在性，而不在于其值的大小。

又因为ε是任意小的正数，所以ε/2 、3ε 、ε2等也都在任意小的正数范围，因此可用它们的数值近似代替ε。同时，正由于ε是任意小的正数，我们可以限定ε小于一个某一个确定的正数。

Answer 2

具体如下：

分子（1,2，……，n）： 1,2,....n 都是一次，所以分子齐。

分母（n²+1，n²+2，……，n²+n）：n²是两次，后面的1，2...n是一次，所以分母不齐。

夹逼定理，也称两边夹定理、夹逼准则、夹挤定理、迫敛定理、三明治定理，是判定极限存在的两个准则之一。函数A>B,函数B>C，函数A的极限是X，函数C的极限也是X ，那么函数B的极限就一定是X。

设{Xn}，{Zn}为收敛数列，且：当n趋于无穷大时，数列{Xn}，{Zn}的极限均为：a.若存在N，使得当n>N时，都有Xn≤Yn≤Zn,则数列{Yn}收敛，且极限为a。

夹逼准则适用于求解无法直接用极限运算法则求极限的函数极限，间接通过求得F(x)和G(x)的极限来确定f(x)的极限。

Answer 3

分子（1,2，……，n）： 1,2,....n 都是一次，所以分子齐。

分母（n²+1，n²+2，……，n²+n）：n²是两次，后面的1，2...n是一次，所以分母不齐。

极限的求法有很多种：

1、连续初等函数，在定义域范围内求极限，可以将该点直接代入得极限值，因为连续函数的极限值就等于在该点的函数值。

2、利用恒等变形消去零因子（针对于0/0型）。

3、利用无穷大与无穷小的关系求极限。

4、利用无穷小的性质求极限。

5、利用等价无穷小替换求极限，可以将原式化简计算。

6、利用两个极限存在准则，求极限，有的题目也可以考虑用放大缩小，再用夹逼定理的方法求极限。

7、利用两个重要极限公式求极限。

Answer 4

如果是在两个无穷小间的比较,即分子分母都是在同一个自变量的变化过程中的无穷小且分母不不等于0：
如果分子次数高于分母,其比值极限为0：分子式比分母高阶的无穷小；
如果分子比分母极限为无穷大：分子式比分母低阶的无穷小；
若比值极限为常数：分子分母同阶无穷小；
若比值极限为1：分子为分母的等价无穷小.
这些都是在自变量趋近于0时的比较,即x趋近于0,按提问者说的就是1/x趋近于无穷.
若x趋近于无穷,则分子分母调换即可.
无穷小的比较主要为了引出等价无穷小,在求极限或者求导过程中,利用等价无穷小替换,简化运算.

Answer 5

你们老师是这个意思。
分子（1,2，……，n）： 1,2,....n 都是一次，所以分子齐。
分母（n²+1，n²+2，……，n²+n）：n²是两次，后面的1，2...n是一次，所以分母不齐。