Question

换元积分法

37，39，求详细

Answer 1

都是一模一样的换元方式,所以我只写37题
被积函数的定义域为{x|x>1或x<-1}
当x>1时,设x=sect,t∈(0,π/2),在此区间上tant>0,利用恒等式1+tan²t=sec²t可知√(x²-1)=tant
dx=d(sect)=secttantdt
原式=∫secttantdt/(secttant)=∫dt=t+C
∵x=sect=1/cost,∴cost=1/x,t=arccos(1/x)

∴原式=arccos(1/x)+C
当x<-1时,作换元u=-x,则u>1,
由上面的结论得∫du/u√(u²-1)=arccos(1/u)+C
将u换成-x,得∫d(-x)/[-x√(x²-1)]=arccos(-1/x)+C
即原式=arccos(-1/x)+C
将结果合并得原式=arccos(1/|x|)+C