概率论问题求解答
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解：由题设条件，有E(X)=E(Y)=μ，D(X)=D(Y)=δ²。
∴E(ξ)=E(αX+βY)=αE(X)+βE(Y)=(α+β)μ，E(η)=E(αX-βY)=(α-β)μ；D(ξ)=D(αX+βY)=α²D(X)+β²D(Y)=(α²+β²)δ²，D(η)=D(αX-βY)=(α²+β²)δ²。
E(ξη)=E[(αX+βY)(αX-βY)]=α²E(X²)-β²E(Y²)=α²(μ²+δ²)-β²(μ²+δ²)=(μ²+δ²)(α²-β²)，
∴ρξη=Cov(ξη)/[D(ξ)D(η)]^(1/2)=[E(ξη)-E(ξ)E(η)]/[D(ξ)D(η)]^(1/2)=(α²-β²)/(α²+β²)。
(2)根据定义。当ρξη=0时，随机变量ξ、η不相关。∴α=β时，ξ、η不相关。
供参考。
∴E(ξ)=E(αX+βY)=αE(X)+βE(Y)=(α+β)μ，E(η)=E(αX-βY)=(α-β)μ；D(ξ)=D(αX+βY)=α²D(X)+β²D(Y)=(α²+β²)δ²，D(η)=D(αX-βY)=(α²+β²)δ²。
E(ξη)=E[(αX+βY)(αX-βY)]=α²E(X²)-β²E(Y²)=α²(μ²+δ²)-β²(μ²+δ²)=(μ²+δ²)(α²-β²)，
∴ρξη=Cov(ξη)/[D(ξ)D(η)]^(1/2)=[E(ξη)-E(ξ)E(η)]/[D(ξ)D(η)]^(1/2)=(α²-β²)/(α²+β²)。
(2)根据定义。当ρξη=0时，随机变量ξ、η不相关。∴α=β时，ξ、η不相关。
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