微积分如图
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求微分方程 xlnxdy+(y-lnx)dx=0满足初始条件y(e)=1的特解；
解：dy/dx=(lnx-y)/(xlnx)=(1/x)-y/(xlnx)............①;
先求齐次方程dy/dx=-y/(xlnx)=0的通解：
分离变量得：dy/y=-dx/(xlnx)；
积分之得: lny=-∫dx/(xlnx)=-∫d(lnx)/lnx=-ln(lnx)+lnc₁=ln(c₁/lnx);
故齐次方程的通解为：y=c₁/lnx；将c₁换成x的函数u，得 y=u/lnx...........②
对②取导数得：dy/dx=[(u'lnx)-(u/x)]/ln²x...........③
将②③代入①式得：[(u'lnx)-(u/x)]/ln²x=(1/x)-u/(xln²x);
化简得: u'/lnx=1/x；故du=[(lnx)/x]dx=(lnx)d(lnx)
积分之得；u=∫(lnx)d(lnx)=(1/2)ln²x+c；
代入②式即得原方程的通解：y=(lnx)/2+c/lnx；代入初始条件y(e)=1得 c=1/2；
故满足初始条件的特解为：y=(lnx/2)+1/(2lnx)=(ln²x+1)/(2lnx);
解：dy/dx=(lnx-y)/(xlnx)=(1/x)-y/(xlnx)............①;
先求齐次方程dy/dx=-y/(xlnx)=0的通解：
分离变量得：dy/y=-dx/(xlnx)；
积分之得: lny=-∫dx/(xlnx)=-∫d(lnx)/lnx=-ln(lnx)+lnc₁=ln(c₁/lnx);
故齐次方程的通解为：y=c₁/lnx；将c₁换成x的函数u，得 y=u/lnx...........②
对②取导数得：dy/dx=[(u'lnx)-(u/x)]/ln²x...........③
将②③代入①式得：[(u'lnx)-(u/x)]/ln²x=(1/x)-u/(xln²x);
化简得: u'/lnx=1/x；故du=[(lnx)/x]dx=(lnx)d(lnx)
积分之得；u=∫(lnx)d(lnx)=(1/2)ln²x+c；
代入②式即得原方程的通解：y=(lnx)/2+c/lnx；代入初始条件y(e)=1得 c=1/2；
故满足初始条件的特解为：y=(lnx/2)+1/(2lnx)=(ln²x+1)/(2lnx);
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