求k！(k由1到n)的和/n! 的极限n→∞
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解：因为当n充分大时有
[Σ(k=1…n)k!)]/n!
＝(1!+2!+3!+4!+…+n!)/n!
＝[n!+(n-1)!+(n-2)!+(n-3)!+…+1!]/n!
＝1+1/n+1/[n(n-1)]+1/[n(n-1)(n-2)]
+…+1/[n(n-1)(n-2)…2]
≤1+1/n+1/[n(n-1)]+1/[n(n-1)]
+…+1/[n(n-1)]
＝1+1/n+(n-2)/[n(n-1)]，
且有
lim(n—>∞){1+1/n+(n-2)/[n(n-1)]}
＝1+0+0＝1，
另一方面，显然有[Σ(k=1…n)k!)]/n!≥1，
所以由夹逼定理得
lim(n—>∞)[Σ(k=1…n)k!)]/n!＝1 .
[Σ(k=1…n)k!)]/n!
＝(1!+2!+3!+4!+…+n!)/n!
＝[n!+(n-1)!+(n-2)!+(n-3)!+…+1!]/n!
＝1+1/n+1/[n(n-1)]+1/[n(n-1)(n-2)]
+…+1/[n(n-1)(n-2)…2]
≤1+1/n+1/[n(n-1)]+1/[n(n-1)]
+…+1/[n(n-1)]
＝1+1/n+(n-2)/[n(n-1)]，
且有
lim(n—>∞){1+1/n+(n-2)/[n(n-1)]}
＝1+0+0＝1，
另一方面，显然有[Σ(k=1…n)k!)]/n!≥1，
所以由夹逼定理得
lim(n—>∞)[Σ(k=1…n)k!)]/n!＝1 .
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