Question

反常积分的收敛与发散

Answer 1

当q=1时，原式=∫(a,b)dx/(x-a)=ln丨x-a丨丨(x=a,b)=ln丨b-a丨-lim(x→a)ln丨x-a丨→∞，发散。
当q≠1时，原式=∫(a,b)dx/(x-a)^q=[1/(1-q)](x-a)^(1-q)丨(x=a,b)=[1/(1-q)]{(b-a)^(1-q)-lim(x→a)(x-a)^(1-q)}。
①当0<q<1时，0<1-q<1,lim(x→a)(x-a)^(1-q)=0，∴原式=∫(a,b)dx/(x-a)^q=[1/(1-q)](b-a)^(1-q)。收敛。
②当q>1时，1-q<0，lim(x→a)(x-a)^(1-q)→∞，发散。
故，综上所述，0<q<1时，积分收敛，其值为[1/(1-q)](b-a)^(1-q)；q≥1时，积分发散。
供参考。