Question

求函数f(x)= + + 的值域。要详细的解题过程！

Answer 1

先求定义域，三个根号里面要≥0，则分别有x≥0，x≤13，x≥-27，求交集得0≤x≤13；
对这个函数求导得y‘=0.5x的-1/2次方+0.5*（13-x）的-1/2次方+0.5*（27+x）的-1/2次
令y’=0得0.5x的-1/2次方+0.5*（13-x）的-1/2次方+0.5*（27+x）的-1/2次=0，解得x=9
所以f(x)在（0，9）上单调递增，在（9，13）上单调递减
f(0)=根号13+根号27，f(9)=11
值域即为[根号13+3*根号3，11]

Answer 2

因为√a
+
√b
>=√(a
+
b)
(两边平方就可以证明了）
所以√x
+
√(13
-
x)
>=√13
而x
>=
0所以√(27+
x)
>=
√27
=
3√3
故原式>=√13
+
3√3
x
=
0时可取到
又因为√x是凹函数，所以
6f(x)
=
√4x
+
√4x
+
√4x
+
√(117-
9x)
+
√(117
-
9x)
+
√(27
+
x)
+
√(27
+
x)
+
√(27
+
x)
+
√(27
+
x)
+
√(27
+
x)
+
√(27
+
x)
<=
11√((4x
*
3
+
(117
-
9x)
*2
+
(27
+
x)
*
6)/11)
=
66
等号成立时4x
=
117
-
9x
=
27
+
x
解得x
=
9
所以f(x)的最大值为66
/
6
=
11；
再由f的连续性可得f的值域为［√13
+3√3,
11]

Answer 3

0≤x≤13,√x≠√(x+27),∴不等式法不可用;换元法找不到中间变元;
只能求导数(f'(x)=0)解高次方程.