Question

已知函数f(x)=ax2+bx-1，a∈(0，4)，b∈R.(1)若b<0，且当...

已知函数f(x)=ax2+bx-1，a∈(0，4)，b∈R. (1)若b＜0，且当x∈[-1a，0]时，f(x)∈[-3a，0]，求a，b的值; (2)是否存在实数a，b，使f(x)恰有一个零点x0∈(1，2)，若存在，请给出一对实数a，b;若不存在，请说明理由.

Answer 1

解答:解:(1)∵函数f(x)=ax2+bx-1，a∈(0，4)的图象是开口朝上，且以直线x=-
b
2a
为对称轴的抛物线，
故当b＜0时，函数f(x)=ax2+bx-1在[-
1
a
，0]上为减函数，
又∵f(x)∈[-
3
a
，0]，
∴f(0)=1=-
3
a
，且f(-
1
a
)=
1
a
-
b
a
-1=0，
解得:a=-3，b=4，
(2)若f(x)恰有一个零点x0∈(1，2)，
则f(1)•f(2)＜0，
即(a+b-1)(4a+2b-1)＜0，
当a=1，b=-1时，满足要求