Question

为什么行列式的某一行所有元素与另一行对应元素的代数余子式的乘积？

Answer 1

根据定理：n阶行列式等于它的任意一行的各元素与其对应的代数余子式乘积之和。

某一行元素A 乘以 另一行元素B 的 代数余子式C 的乘积之和，就相当于把A替代为C的B，然后两行相等 行列式为零。

将第i行加到第j行上（行列式值不变），再将行列式按第j行张开，得

D = （aj1 + ai1）Aj1 + （aj2 + ai2）Aj2 + ……+ （ajn + ain）Ajn

=  D + （ai1Aj1 + ai2Aj2 + …… + ainAjn）

所以上式后面部分为0

扩展资料

计算某一行(或列)的元素代数余子式的线性组合的值时，尽管直接求出每个代数余子式的值，再求和也是可行的，但一般不用此法，其原因是计算量太大，注意到行列式D中元素的代数余子式与的值无关，仅与其所在位置有关。

利用这一点，可将D的某一行(或列)元素的代数余子式的线性组合表示为一个行列式，而构造这一行列式是不难的，只需将其线性组合的系数替代D的该行(或该列)元素，所得的行列式就是所要构造的行列式，再应用下述行列式的展开定理，即命题1和命题2，就可求得的值。