Question

证明:齐次线性微分方程组的线性无关解的个数不能多于n个.

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问：证明:齐次线性微分方程组的线性无关解的个数不能多于n个.

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答：# 证明：齐次线性微分方程组的线性无关解的个数不能多于n个。 n阶齐次线性微分方程的特征方程是一个一元n次方程。根据代数基本定理，任何复系数一元n次多项式方程在复数域上至少有一根(n≥1)，由此推出，n次复系数多项式方程在复数域内有且只有n个根（重根按重数计算）。所以： n阶齐次线性微分方程一定有n个线性无关的解。其通解一定要含有n个解。 对于单重根λm，其通解中出现e^(λmx)。 对于多重根λp（假设为k重根），通解中出现x^j*e^(λpx)，j=0,1,2,……,k-1。 如果某根λ是复数，可利用欧拉公式化成正余弦的形式。