Question

球面坐标系，球坐标系的微分方程

Answer 1

设P（x，y，z）为空间内一点，则点P也可用这样三个有次序的数r，φ，θ来确定，其中r为原点O与点P间的距离，θ为有向线段与z轴正向所夹的角，φ为从正z轴来看自x轴按逆时针方向转到有向线段的角，这里M为点P在xOy面上的投影。这样的三个数r，φ，θ叫做点P的球面坐标，这里r，φ，θ的变化范围为

r∈[0,+∞),

φ∈[0, 2π],

θ∈[0, π] .

当r,θ或φ分别为常数时,可以表示如下特殊曲面:

r = 常数，即以原点为心的球面；

θ= 常数，即以原点为顶点、z轴为轴的圆锥面；

φ= 常数，即过z轴的半平面。

球坐标系下的微分关系:

在球坐标系中，沿基矢方向的三个线段元为：

dl(r)=dr, dl(θ)=rdθ, dl(φ)=rsinθdφ

球坐标的面元面积是：

dS=dl(θ)× dl(φ)=r2sinθdθdφ

体积元的体积为：

dV=dl(r)×dl(θ)×dl(φ)= r2sinθdrdθdφ

对于球壳转动惯量：

设以z坐标为轴的转动惯量J；球壳面积密度ρ；回转半径Rsinθ；

dJ=ρ(Rsinθ)2 dS

球壳半径为常数，dS =R2sinθdθdφ

J=2∫02∏∫0∏/2 ρ(Rsinθ)2 R2sinθdθdφ ;取半壳积分

=2ρR4∫02∏∫0∏/2 sinθ3 dθdφ

=8/3 ρ∏R4
ρ=球壳质量M/球壳面积S
S=2∫02∏∫0∏/2 R2sinθdθdφ=4∏R2
把ρ=M/(4∏R2)代入得
得 J=2/3 MR2