Question

7.简答题求曲线\(x^2+y^2+z^2=9z=xy.在点M0(1,2,2)处的法平面方程？

Answer 1

首先，我们需要确定曲线在点 M0(1, 2, 2) 处的切向量。由于曲线是由两个方程 x^2 + y^2 + z^2 = 9 和 z = xy 给出的，因此我们可以分别对这两个方程求偏导数，然后在点 M0(1, 2, 2) 处求出偏导数的值：
∂(x^2 + y^2 + z^2)/∂x = 2x，∂(x^2 + y^2 + z^2)/∂y = 2y，∂(x^2 + y^2 + z^2)/∂z = 2z - 9
∂(z)/∂x = y，∂(z)/∂y = x，∂(z)/∂z = 1
因此，在点 M0(1, 2, 2) 处，曲线的切向量为 (2, 1, 2)。
接下来，我们需要求出曲线在点 M0(1, 2, 2) 处的法向量。由于法向量垂直于曲线的切向量，我们可以找到一个与曲线的切向量垂直的向量作为法向量。例如，向量 (1, 0, -2) 和向量 (0, 1, -2) 都垂直于切向量 (2, 1, 2)，因此这两个向量的叉积 (1, 0, -2) × (0, 1, -2) = (-2, -2, -1) 就是曲线在点 M0(1, 2, 2) 处的法向量。
最后，我们可以使用点法式来求解法平面的方程。设法平面的方程为 Ax + By + Cz = D，其中 (A, B, C) 是法向量 (-2, -2, -1) 的一个单位向量。由于 (A, B, C) 是一个单位向量，我们可以令 A = -2/3，B = -2/3，C = -1/3。
由于法平面包含点 M0(1, 2, 2)，因此我们可以代入这个点的坐标来求解常数 D。得到：
-2/3 * 1 - 2/3 * 2 - 1/3 * 2 = D
因此，法平面的方程为 -2x/3 - 2y/3 - z/3 = 0。