Question

．设A为n阶矩阵，秩(A)=n-1， ， 是齐次线性方程组Ax=0两个不同的解，则Ax=0的通解是

设A为n阶矩阵，秩(A)=n-1，x1 ， x2是齐次线性方程组Ax=0两个不同的解，则Ax=0的通解是_____
选项为A．kx1 B．k x2
C．k(x1 +x2 ) D．k( x1- x2)

Answer 1

秩(a)＝n-1，则方程组ax＝0的基础解系包含的向量个数是n－秩(a)＝1
a1，a2是ax＝0的解，则a1-a2也是ax＝0的解，且a1-a2≠0，所以a1-a2可以作为ax＝0的基础解系，所以ax＝0的通解是k(a1-a2)，k是任意实数

Answer 2

将题补全.
设A为n阶矩阵,秩(A)=n-1,X1,X2是齐次线性方程组Ax=0的两个不同的解，则Ax=0的通解是kX1或kX2(要求X1或X2不等于零,即不能是零解),其中k是任意数.

Answer 3

首先齐次线性方程组的解集的最大无关组称为该齐次方程组的基础解系，所以基础解系是线性无关的，而答案A,B,C的基础解系可能为零。
正解应该是：秩(A)＝n-1，则方程组Ax＝0的基础解系包含的向量个数是n－秩(A)＝1
a1，a2是Ax＝0的解，则a1-a2也是Ax＝0的解，且a1-a2≠0，所以a1-a2可以作为Ax＝0的基础解系，所以Ax＝0的通解是k(a1-a2)，k是任意实数