离散傅里叶变换离散傅里叶变换公式
傅里叶变换
离散傅里叶变换(discrete Fourier transform) 傅里叶分析方法是信号分析的最基本方法，傅里叶变换是傅里叶分析的核心，通过它把信号从时间域变换到频率域，进而研究信号的频谱结构和变化规律。但是它的致命缺点是离散傅里叶变换： 计算量太大，时间复杂度太高，当采样点数太高的时候，计算缓慢， 由此出现了DFT的快速实现，即下面的快速傅里叶变换FFT。
这里原始信号的三个正弦波的频率分别为，200Hz、400Hz、600Hz,最大频率为600赫兹。根据采样定理，fs至少是600赫兹的2倍，这里选择1400赫兹，即在一秒内选择1400个点。
1400
[-4.18864943e-12+0.j9.66210986e-05-0.04305756j3.86508070e-04-0.08611996j
8.69732036e-04-0.12919206j 1.54641157e-03-0.17227871j]
换之后的结果数据长度和原始采样信号是一样的
每一个变换之后的值是一个复数，为a+bj的形式下标为0和 N /2的两个复数的虚数部分为0，下标为i和 N - i 的两个复数共辄，也就是其虚部数值相同、符号相反。再用ifft()从频域转回时域之后，出现了由误差引起的很小的虚部，用np.real()取其实部即可．
_由于一半是另一半的共轭，因此只需要关心一半数据．fft转换后下标为0的实数表示时域信号中的直流成分（不随时间变化）
振幅谱的纵坐标很大，而且具有对称性
Y=A1+A2 cos(2πω2+φ2）+A3 cos(2πω3+φ3）+A4*cos(2πω4+φ4）
经过FFT之后，得到的“振幅图”中，
第一个峰值（频率位置）的模是A1的N倍，N为采样点，本例中为N=1400，此例中没有，因为信号没有常数项A1
第二个峰值（频率位置）的模是A2的N/2倍，N为采样点，
第三个峰值（频率位置）的模是A3的N/2倍，N为采样点，
第四个峰值（频率位置）的模是A4的N/2倍，N为采样点，
STFT短时傅里叶变换，实际上是对一系列加窗数据做FFT。有的地方也会提到DCT（离散傅里叶变换），而DCT跟FFT的关系就是离散傅里叶变换：FFT是实现DCT的一种快速算法。
FFT有个参数N，表示对多少个点做FFT，如果一帧里面的点的个数小于N就会zero-padding到N的长度。每个点对应一个频率点，某一点n（n从1开始）表示的频率为:
第一个点（n=1，Fn等于0）表示直流信号，最后一个点N的下一个点（实际上这个点是不存在的）表示采样频率Fs。
FFT后离散傅里叶变换我们可以得到N个频点，比如，采样频率为16000，N为1600，那么FFT后就会得到1600个点，FFT得到的1600个值的模可以表示1600个频点对应的振幅。因为FFT具有对称性，当N为偶数时取N/2+1个点，当N为奇数时，取(N+1)/2个点，比如N为512时最后会得到257个值。
scipy.signal.stft（x，fs = 1.0，window =‘hann’，nperseg = 256，noverlap = None，nfft = None，detrend = False，return_oneside = True，boundary =‘zeros’，padded = True，axis = -1 ）
dft指的是什么？
DFT（离散傅里叶变换）一般指离散傅里叶变换。
离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，DFT）傅里叶分析方法是信号分析的最基本方法，傅里叶变换是傅里叶分析的核心，通过它把信号从时间域变换到频率域，进而研究信号的频谱结构和变化规律。
物理意义
设x(n)是长度为N的有限长序列，则其傅里叶变换，Z变换与离散傅里叶变换分别用以下三个关系式表示：
X(e^jω)= ∑n={0,N-1}x(n) e^j-ωn。
X(z)= ∑n={0,N-1}x(n)z^-n。
X(k)= ∑n={0,N-1}x(n) e^-j2πkn/N。
单位圆上的Z变换就是序列的傅里叶变换。
离散傅里叶变换是x(n)的频谱X(ejω)在[0,2π]上的N点等间隔采样,也就是对序列频谱的离散化,这就是DFT的物理意义。
离散傅里叶变换怎么求？
根据欧拉公式，cosω0t=[exp(jω0t)+exp(-jω0t)]/2。
直流信号的傅里叶变换是2πδ(ω)。
根据频移性质可得exp(jω0t)的傅里叶变换是2πδ(ω-ω0)。
再根据线性性质，可得
cosω0t=[exp(jω0t)+exp(-jω0t)]/2的傅里叶变换是πδ(ω-ω0)+πδ(ω+ω0)。
扩展资料
计算离散傅里叶变换的快速方法，有按时间抽取的FFT算法和按频率抽取的FFT算法。前者是将时域信号序列按偶奇分排，后者是将频域信号序列按偶奇分排。
它们都借助于的两个特点：一是周期性；二是对称性，这里符号*代表其共轭。这样，便可以把离散傅里叶变换的计算分成若干步进行，计算效率大为提高。
时间抽取算法 令信号序列的长度为N=2,其中M是正整数，可以将时域信号序列x(n)分解成两部分，一是偶数部分x（2n），另一是奇数部分x（2n+1），于是信号序列x(n）的离散傅里叶变换可以用两个N/2抽样点的离散傅里叶变换来表示和计算。考虑到和离散傅里叶变换的周期性，式⑴可以写成
⑶其中（4a）（4b）由此可见，式⑷是两个只含有N/2个点的离散傅里叶变换，G(k）仅包括原信号序列中的偶数点序列，H(k）则仅包括它的奇数点序列。虽然k=0，1，2，，N-1，但是G(k）和H(k）的周期都是N/2，它们的数值以N/2周期重复。
离散傅里叶变换常用公式表
离散傅里叶变换常用公式表是：cosωbai0t=[exp(jω0t)+exp(-jω0t)]/2。
傅里叶变换离散傅里叶变换，表示能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和/或余弦函数）或者它们的积分的线性组合。在不同的研究领域，傅立叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。最初傅里叶分析是作为热过程的解析分析的工具被提出的。
Fourier transform或Transformée de Fourier有多个中文译名，常见的有“傅里叶变换”、“付立叶变换”、“傅立叶转换”、“傅氏转换”、“傅氏变换”、等等。
傅里叶变换是一种分析信号的方法，它可分析信号的成分，也可用这些成分合成信号。许多波形可作为信号的成分，比如正弦波、方波、锯齿波等，傅立叶变换用正弦波作为信号的成分。
傅里叶是一位法国数学家和物理学家的名字，英语原名是Jean Baptiste Joseph Fourier(1768-1830), Fourier对热传递很感兴趣，于1807年在法国科学学会上发表了一篇论文，运用正弦曲线来描述温度分布。
论文里有个在当时具有争议性的决断：任何连续周期信号可以由一组适当的正弦曲线组合而成。当时审查这个论文的人，其中有两位是历史上著名的数学家拉格朗日(Joseph Louis Lagrange, 1736-1813)和拉普拉斯(Pierre Simon de Laplace, 1749-1827)。
当拉普拉斯和其它审查者投票通过并要发表这个论文时，拉格朗日坚决反对，在离散傅里叶变换他此后生命的六年中，拉格朗日坚持认为傅里叶的方法无法表示带有棱角的信号，如在方波中出现非连续变化斜率。
法国科学学会屈服于拉格朗日的威望，拒绝了傅里叶的工作，幸运的是，傅里叶还有其它事情可忙，离散傅里叶变换他参加了政治运动，随拿破仑远征埃及，法国大革命后因会被推上断头台而一直在逃避。直到拉格朗日死后15年这个论文才被发表出来。
