如何求矩阵的n次幂
有下面三种情况：
1、如果你所要求的是一般矩阵的高次幂的话，是没有捷径可走的，只能够一个个去乘出来。
至于低次幂，如果能够相似对角化，即：存在简便算法的话，在二阶矩阵的情况下简便算法未必有直接乘来得快，所以推荐直接乘。
2、如果你要求的是能够相似对角化的矩阵的高次幂的话，是存在简便算法的。
设要求矩阵A的n次幂，且A=Q^(-1)*Λ*Q，其中Q为可逆阵，Λ为对角阵。
即：A可以相似对角化。那么此时，有求幂公式：A^n=Q^(-1)*(Λ)^n*Q，而对角阵求n次方，只需要每个对角元素变为n次方即可，这样就可以快速求出二阶矩阵A的的高次幂。
3、如果矩阵可以相似对角化，求相似对角化的矩阵Q的具体步骤为：
求|λE-A|=0 (其中E为单位阵)的解，得λ1和λ2（不管是否重根），这就是Λ矩阵的对角元素。
依次把λ1和λ2带入方程（如果λ是重根只需代一次，就可求得两个基础解）[λE-A][x]=[0]，求得两个解向量[x1]、[x2]，从而矩阵Q的形式就是[x1 x2]。
接下来的求逆运算是一种基础运算，这里不再赘述。
下面可以举一个例子：
二阶方阵：
1 a
0 1
求它的n次方矩阵
方阵A的k次幂定义为 k 个A连乘: A^k = AA...A (k个)
一些常用的性质有：
1. (A^m)^n = A^mn
2. A^mA^n = A^(m+n)
一般计算的方法有：
1. 计算A^2,A^3 找规律, 然后用归纳法证明
2. 若r(A)=1, 则A=αβ^T, A^n=(β^Tα)^(n-1)A
注: β^Tα =α^Tβ = tr(αβ^T)
3. 分拆法: A=B+C, BC=CB, 用二项式公式展开
适用于 B^n 易计算, C的低次幂为零矩阵: C^2 或 C^3 = 0.
4. 用对角化 A=P^-1diagP
A^n = P^-1diag^nP
扩展资料：
幂等矩阵的主要性质：
1.幂等矩阵的特征值只可能是0，1；
2.幂等矩阵可对角化；
3.幂等矩阵的迹等于幂等矩阵的秩，即tr(A)=rank(A)；
4.可逆的幂等矩阵为E；
5.方阵零矩阵和单位矩阵都是幂等矩阵；
6.幂等矩阵A满足：A(E-A)=(E-A)A=0；
7.幂等矩阵A：Ax=x的充要条件是x∈R(A)；
8.A的核N(A)等于(E-A)的列空间R(E-A),且N(E-A)=R(A)。考虑幂等矩阵运算后仍为幂等矩阵的要求，可以给出幂等矩阵的运算：
1）设 A1，A2都是幂等矩阵，则(A1+A2) 为幂等矩阵的充分必要条件为：A1·A2 =A2·A1=0，且有：R(A1+A2) =R (A1) ⊕R (A2)；N(A1+A2) =N(A1)∩N(A2)；
2）设 A1， A2都是幂等矩阵，则(A1-A2) 为幂等矩阵的充分必要条件为：A1·A2=A2·A1=A2，且有：R(A1-A2) =R(A1)∩N (A2)；N (A1- A2) =N (A1)⊕R (A2)；
3）设 A1，A2都是幂等矩阵，若A1·A2=A2·A1，则A1·A2为幂等矩阵，且有：R (A1·A2) =R(A1) ∩R (A2)；N (A1·A2) =N (A1) +N (A2)。
