Question

高一数学(求和)等比数列的前N项和

(1)(a-1)+(a平方-2）+...+(a的n次方-n)

(2)(2-3×5的-1次方）+(4-3×5的-2次方）+...+(2n-3×5的-n次方）

(3)1+2x+3x平方+...+nx的n-1方

Answer 1

(1)(a-1)+(a平方-2）+...+(a的n次方-n)
=(a+ a平方+…..+ a的n次方)-(1+2+….+n)
=a[a的n次方-1]/(a-1)-n(n+1)/2

(2)(2-3×5的-1次方）+(4-3×5的-2次方）+...+(2n-3×5的-n次方）
=(2+4+….+2n)-( 3×5的-1次方+3×5的-2次方+…+3×5的-n次方)
=n(n+1)- 3×(5的-1次方+5的-2次方+…+5的-n次方)
= n(n+1)- 3×1/5×[1-(1/5)的n次方]/(1-1/5)
= n(n+1)- 3/4×[1- (1/5)的n次方]
如果是（3×5）的-1次方，则：
(2-3×5的-1次方）+(4-3×5的-2次方）+...+(2n-3×5的-n次方）
=(2+4+….+2n)-( 3×5的-1次方+3×5的-2次方+…+3×5的-n次方)
= n(n+1)-1/15×[1-(1/15) 的n次方]/(1-1/15)
= n(n+1)- [1-(1/15) 的n次方]/14

(3)1+2x+3x平方+...+nx的n-1方
解：令S=1+2x+3x平方+...+nx的n-1方
则xS=x+2x平方+3x立方+...+nx的n次方
故：S-xS=1+x+x² +x³+…+x的n-1方- nx的n次方
=(1- x的n-1方)/(1-x)
故：S=(1- x的n-1方)/(1-x) ²
故：1+2x+3x平方+...+nx的n-1方=(1- x的n-1方)/(1-x) ²