Question

一道初中数学证明题

正方形ABCD中，∠MAN＝45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB，DC（或它们的延长线）于M，N 。当∠MAN绕点A旋转到BM＝DN时（如图①），易证BM＋DN＝MN。

（1）当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时（如图②），线段BM，DN和MN之间有怎样的数量关系？写出猜想， 并加以证明；
（2）当∠MAN绕点A旋转到如图③的位置时，线段BM，DN和MN之间又有怎样的数量关系？请写出并证明你的猜想。

Answer 1

解：
（1）线段BM、DN和MN之间又有怎样得数量关系是：
BM+DN＝MN
如图，延长CB到E，使BE=DN，连接AE
∵AB=AD,∠ABE=∠D=90°
∴△ABE≌△AND
∴AE=AN, ∠BAE=∠NAD
∵∠BAM+∠NAD=45°
∴∠BAM+∠BAE =45°
即∠EAM=∠MAN =45°
∴△AEM≌△ANM
所以ME＝MN
因为ME＝BE+BM＝DN+BM
所以DN+BM＝MN
（2）线段BM、DN和MN之间又有怎样得数量关系是：
DN－BM＝MN
证明提示：
方法同（1）
在DC上取DF＝BN，连接ME
证明△ADF≌△ABM