Question

高中函数 导数

已知函数f(x)=x²+ax-lnx,a∈R
（1）若函数f(x)在【1,2】上是减函数，求实数a的取值范围
（2）令g(x)=f(x)-x²，是否存在实数a，当x∈（0，e】（e是自然常数）时，函数g(x)的最小值是3，若存在，求出的值；若不存在，说明理由。

Answer 1

Answer 2

对于第一问若要使f(x)为减函数，则要使它的导数f'(x)=2x+a-1/x在【1,2】上恒小于0，由于f'(x)为单调增函数，故只要使x=2时f'(x)<0即可。所以a的范围为a<-3.5。
对于第二问：g(x)=f(x)-x²=ax-lnx，所以g'(x)=a-1/x；当x∈（0，e】（e是自然常数）时，可知g'(x)为单调增函数，故g'(x)在该区间上只有三种情况，（1）恒<0；（2）恒>0；（3）先小于0后大于0，即有零点；当（1）恒<0时，g(x)单调减，所以在x=e时，g(x)最小，带入数据得到a=4/e，验证：当a=4/e时，g'(x)在x=e时就不小于0，所以在x∈（0，e】上并不是恒小于0，故在（1）的假设下a不存在；当（2）时，由于g(x)单调增，所以在（0，e】上最小值不存在，因此a不存在；对于（3）由于先小于0后大于0，所以g(x)先减后增，在g'(x)=0处g(x)取最小值。当g'(x)=0时，x=1/a，此时g(x)=1+lna=3。所以a=e^2，验证可知这个a成立。所以a=e^2。
第一次回答，望采纳。

Answer 3

在[1,2]上是减函数，则h(x)=2x^2+ax-1=0的两个根分别位于x=2,及x<=1的区间上
　　若a<=0,则g'(x)<0,函数单调减，最小值为g(e)=ae-1=3,得：a=4/e0,不符
　　若a0,则极小值点为f(1/a)=1+lna
　　若1/ae,即0<a<1/e,则在（0，e]上单调减，由上，得a=4/e,不符
　　综合得：a=e^2