Question

（2011福州）已知，矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm，AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F，垂足为O．

的第二问的答案是）①显然当P点在AF上时，Q点在CD上，此时A、C、P、Q四点不可能构成平行四边形； 同理P点在AB上时，Q点在DE或CE上或P在BF，Q在CD时不构成平行四边形，也不能构成平行四边形． 因此只有当P点在BF上、Q点在ED上时，才能构成平行四边形， ∴以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，PC=QA， ∵点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为t秒， ∴PC=5t，QA=12-4t， ∴5t=12-4t， 解得t=4 3 ， ∴以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，t=4 3 秒． 中，根据什么判断他是还是不是平行四边形？看出来的？

Answer 1

解：（1）①∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC， ∴∠CAD=∠ACB，∠AEF=∠CFE， ∵EF垂直平分AC，垂足为O， ∴OA=OC， ∴△AOE≌△COF， ∴OE=OF， ∴四边形AFCE为平行四边形， 又∵EF⊥AC， ∴四边形AFCE为菱形， ②设菱形的边长AF=CF=xcm，则BF=（8-x）cm， 在Rt△ABF中，AB=4cm， 由勾股定理得4 2 +（8-x） 2 =x 2 ， 解得x=5， ∴AF=5cm． （2）①显然当P点在AF上时，Q点在CD上，此时A、C、P、Q四点不可能构成平行四边形； 同理P点在AB上时，Q点在DE或CE上或P在BF，Q在CD时不构成平行四边形，也不能构成平行四边形． 因此只有当P点在BF上、Q点在ED上时，才能构成平行四边形， ∴以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，PC=QA， ∵点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为t秒， ∴PC=5t，QA=12-4t， ∴5t=12-4t， 解得t= 4 3 ， ∴以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，t= 4 3 秒． ②由题意得，四边形APCQ是平行四边形时，点P、Q在互相平行的对应边上． 分三种情况： i）如图1，当P点在AF上、Q点在CE上时，AP=CQ，即a=12-b，得a+b=12； ii）如图2，当P点在BF上、Q点在DE上时，AQ=CP，即12-b=a，得a+b=12； iii）如图3，当P点在AB上、Q点在CD上时，AP=CQ，即12-a=b，得a+b=12． 综上所述，a与b满足的数量关系式是a+b=12（ab≠0）．