Question

已知数列{an}是公比大于1的等比数列，满足a3?a4=128，a2+a5=36；数列{bn}满足bn+1=2bn-bn-1（n∈N*，n≥2

已知数列{an}是公比大于1的等比数列，满足a3?a4=128，a2+a5=36；数列{bn}满足bn+1=2bn-bn-1（n∈N*，n≥2），且b2≠b1=1，b2，b4，b8成等比数列．（1）求{an}及{bn}的通项公式；（2）求数列{anbn}的前n项和Sn．

Answer 1

（1）依题意，

a3?a4＝128 a2+a5＝36

?

a2?a5＝128 a2+a5＝36

，又a₅＞a₂，
∴

a2＝4 a5＝32

，解得

a1＝2 q＝2

，
∴a_n=2ⁿ．
由b_n+1=2b_n-b_n-1，得2b_n=b_n+1+b_n-1（n∈N^*，n≥2），
∴{b_n}是等差数列，设其公差为d，由b42=b₂?b₈及b₁=1，得：（1+3d）²=（1+d）（1+7d），
∴d²=d，又b₂≠b₁，
∴d=1，
∴b_n=1+（n-1）×1=n．
∴a_n=2ⁿ，b_n=n；
（2）由S_n=1×2¹+2×2²+…+（n-1）×2^n-1+n×2ⁿ得：
2S_n=1×2²+…+（n-1）×2ⁿ+n×2ⁿ⁺¹；
两式相减得：-S_n=（2¹+2²+…+2ⁿ）-n×2ⁿ⁺¹=

2(1?2n)

1?2

-n×2ⁿ⁺¹=-2+（1-n）×2ⁿ⁺¹，
故S_n=（n-1）×2ⁿ⁺¹+2．