Question

设数列{a n }的前n项和为S n ，满足 2 S n = a n+1 - 2 n+1 +1，(n∈N*) 且a 1 ，a 2 +5，a 3

设数列{a n }的前n项和为S n ，满足 2 S n = a n+1 - 2 n+1 +1，(n∈N*) 且a 1 ，a 2 +5，a 3 成等差数列．（1）求a 1 的值；（2）若数列{b n }满足 b n = a n + 2 n ，求证数列{b n }是等比数列．（3）求满足 a n ＞ 4 5 × 3 n 的最小正整数n．

Answer 1

（1）∵ 2 S n = a n+1 - 2 n+1 +1，(n∈N*) ∴2a 1 =a 2 -3①，2（a 1 +a 2 ）=a 3 -7② ∵a 1 ，a 2 +5，a 3 成等差数列 ∴2（a 2 +5）=a 1 +a 3 ，③ ∴由①②③可得a 1 =1； （2）证明：∵ 2 S n = a n+1 - 2 n+1 +1 ， ∴ 2 S n-1 = a n - 2 n +1 （n≥2） 两式相减可得 2 a n = a n+1 - a n - 2 n ∴ a n+1 =3 a n + 2 n ∵数列{b n }满足 b n = a n + 2 n ， ∴ b n+1 b n = a n+1 + 2 n+1 a n + 2 n = 3 a n + 2 n + 2 n+1 a n + 2 n =3（n≥2） ∵2a 1 =a 2 -3， ∴a 2 =5 ∴b 1 =3，b 2 =9 ∴ b 2 b 1 =3 ∴数列{b n }是一个以3为首项，公比为3的等比数列．…（9分） （3）由（2）知 b n = 3 n ，即 a n + 2 n = 3 n ∴数列{a n }的通项公式是a n =3 n -2 n ．…（11分） ∴ a n 3 n =1-( 2 3 ) n ＞ 4 5 ，即 ( 2 3 ) n ＜ 1 5 ， 所以n≥4，所以n的最小正整数为4．…（15分）