设{an}是公差为d(d≠0)的等差数列,其前几项和为Sn.已知S10=110,且a1,a2,a4成等比数列.(1)求数
设{an}是公差为d(d≠0)的等差数列,其前几项和为Sn.已知S10=110,且a1,a2,a4成等比数列.(1)求数列{an}的通项公式;(2)令bn=1Sn,证明:...
设{an}是公差为d(d≠0)的等差数列,其前几项和为Sn.已知S10=110,且a1,a2,a4成等比数列.(1)求数列{an}的通项公式;(2)令bn=1Sn,证明:b1+b2+…+bn<1.
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(1)∵a1,a2,a4成等比数列,
∴(a1+d)2=a1?(a1+3d),
∴d2=a1d,又d≠0,
∴a1=d;
又S10=10a1+
d=10a1+45a1=110,
∴a1=d=2,
∴an=a1+(n-1)d=2+(n-1)×2=2n.
(2)∴Sn=a1+a2+…+an=2+4+…+2n=n(n+1),
∴bn=
=
=
-
,
∴b1+b2+…+bn=(1-
)+(
-
)+…+(
-
)=1-
<1.
∴(a1+d)2=a1?(a1+3d),
∴d2=a1d,又d≠0,
∴a1=d;
又S10=10a1+
10×9 |
2 |
∴a1=d=2,
∴an=a1+(n-1)d=2+(n-1)×2=2n.
(2)∴Sn=a1+a2+…+an=2+4+…+2n=n(n+1),
∴bn=
1 |
Sn |
1 |
n(n+1) |
1 |
n |
1 |
n+1 |
∴b1+b2+…+bn=(1-
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
3 |
1 |
n |
1 |
n+1 |
1 |
n+1 |
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