Question

已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1=12，an+2SnSn-1=0（n≥2）．（1）判断{1Sn}是否为等差数列？并证明

已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1=12，an+2SnSn-1=0（n≥2）．（1）判断{1Sn}是否为等差数列？并证明你的结论；（2）求Sn和an；（3）求证：S12+S22+…+Sn2≤12?14n．

Answer 1

（1）S₁=a₁=

1

2

，∴

1

S1

＝2
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=-2S_nS_n-1，∴

1

Sn

?

1

Sn?1

＝2
∴{

1

Sn

}为等差数列，首项为2，公差为2…（4分）
（2）由（1）知

1

Sn

=2+（n-1）×2=2n，∴Sn＝

1

2n

…（6分）
当n≥2时，an＝?2SnSn?1＝?2?

1

2n

?

1

2(n?1)

＝?

1

2n(n?1)

∴a_n=

1 2 ，n＝1 ? 1 2n(n?1) ，n≥2

…（9分）
（3）S12+…+Sn2＝

1

4

(

1

12

+

1

22

+…+

1

n2

)≤

1

4

(1+

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

(n?1)×n

)=