Question

已知函数f（x）=（a+2cos2x）cos（2x+θ）为奇函数，且f（π4）=0，其中a∈R，θ∈（0，π）．（1）求a，

已知函数f（x）=（a+2cos2x）cos（2x+θ）为奇函数，且f（π4）=0，其中a∈R，θ∈（0，π）．（1）求a，θ的值；（2）若f（α4）=-25，α∈（π2，π），求sin（α+π3）的值．

Answer 1

（1）f（

π

4

）=-（a+1）隐姿李sinθ=0，
∵θ∈（0，π）．
∴sinθ≠0，
∴a+1=0，即a=-1
∵f（x）为奇函数，
∴f（0）=（a+2）cosθ=0，
∴cosθ=0，θ=

π

2

．
（2）由（1）知f（x）=（-1+2cos²x）cos（2x+

π

2

）=cos2x?（-sin2x）=-

1

2

sin4x，
∴灶迟f（

α

4

）=-

1

2

sinα=-

2

5

，
∴sinα=

4

5

，
∵α∈（

π

2

，π），
∴cosα=

1? 16 25

=-

3

5

，
∴sin（α+

π

3

）=sinαcos

π

3

+cosαsin

π

3

=

4?3 3

10

．册销

Answer 2

（陪盯哗1）f【4/π】则局=-（a+1）sinθ=0，
∵θ∈（0，π）．
∴sinθ≠0，
∴a+1=0，即a=-1
∵f（x）为奇函数，
∴f（0）=（a+2）cosθ=0，
∴cosθ=0，θ=2/π。
（2）由（1）知f（x）=（-1+2cos2x）cos（2x+2/π）=cos2x•（-sin2x）=-2/1sin4x，

∴f（4/a）=-2/1 sinα=- 5/2，
∴sinα=5/4
∵α∈（2/π，π），
∴cosα=厂1−25/16=5/3，
∴sin（α+3/π）=sinαcos3/π+cosαsin3/π=10/4-3厂3。
望采芦行纳