Question

高等数学 导数与极限的题

设函数f(x)在点x0的某邻域内有定义，则f(x)在点x0可导的充分必要条件是
(A) 极限limΔx→0 f(x0+Δx）-f(x0-Δx）/Δx存在
(B) 极限lim n→∞ n[f(x0+1/n)-f(x0)]存在
(C)极限 lim t→∞ t [f(x0)-f(x0-1/t)]存在
(D)极限 lim h→0 f(x0+h^2)-f(x0)/h^2存在
趋近与 自变量变化不一致怎么解决
还有一个问题类似
lim n→∞ [f(x0+1/n)-f(x0)]/(1/n)极限存在
函数f（x）在x0处为什么是 不一定 可导呢？
谢谢

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Answer 1

选项(A)：f(x)在x=0处不一定有定义，错误。
选项(B)：n→∞，由于n为正整数，因此1/n→0+，只能说f(x)在x=0处的右导数存在，错误。
选项(C)：这个是正确的。
选项(D)：h→0，但h^2→0+，也只能证明f(x)在x=0处的右导数存在，错误。

至于你说的“趋近与自变量变化不一致怎么解决”，我没明白什么意思。

Answer 2

只能选C，这里的无穷应理解为正负无穷，和定义[f（x0+△x)-f(x0)]/△x是一样的。
A举个例子f=|x|在x=0就推翻了
B这里的n大概理解成整数，说的只是右导数
D也是右导数

你追问的问题就是BD